Urbański P - Geometryczne podstawy teorii pola.pdf
(
201 KB
)
Pobierz
GEPOL.TEX
February 7, 2009
Geometryczne podstawy teorii pola
Pawel Urbanski
Division of Mathematical Methods in Physics
University of Warsaw
Hoza 74, 00-682 Warszawa
1. Ró»niczkowania w algebrze form ró»niczkowych.
1.1. Algebry, ró»niczkowania w algebrach. Algebr¡ nazywamy przestrze« wektorow¡
z działaniem mno»enia, które jest rozdzielne wzgl¦dem dodawania. Algebra (,·) jest
ł¡czna, je»eli mno»enie jest ł¡czne. Algebra (,·) jest algebr¡ Leibniza, je»eli mno»enie
spełnia to»samo±¢ Jacobiego
f · (f
0
·f) = f ·f
0
+ f ·f.
Je»eli ponadto mno»enie jest antyprzemienne, f ·f
0
= −f
0
·f, to algebra jest algebr¡ Liego
Definicja 1. odwzorowanie liniowe a: ! nazywamy ró»niczkowaniem w algebrze,
je»eli dla ka»dej pary f,f
0
2 mamy
a(f ·f
0
) = f ·a(f
0
) + a(f) ·f
0
.
Przykłady.
(1) To»samo±¢ Jacobiego w definicji algebry Liego oznacza, »e mno»enie jest ró»niczko-
waniem wzgl¦dem siebie.
(2) Pole wektorowe na rozmaito±ci jest ró»niczkowaniem w algebrze funkcji gładkich.
(3) Niech b¦dzie algebr¡ ł¡czn¡. Dla ka»dego f 2 odwzorowanie
D
f
: ! : g 7! f ·g−g·f
jest ró»niczkowaniem w :
D
f
(g·g
0
) = f·(g·g
0
)−(g·g
0
)·f = (f·g−g·f)·g
0
+g·(f·g
0
−g
0
·f) = D
f
(g)·g
0
+g·D
f
(g
0
).
Ró»niczkowanie takie nazywamy ró»niczkowaniem wewn¦trznym.
Oznaczmy przez Der() zbiór ró»niczkowa« w algebrze . Oczywistym jest, »e tworz¡ one
przestrze« wektorow¡ oraz »e zło»enie dwóch ró»niczkowa« nie jst ró»niczkowaniem.
Stwierdzenie 1. Niech a,b 2 Der(). Wówczas ich komutator ab−ba te» jest ró»niczko-
waniem w .
Dowod:
(ab−ba)(f ·g) = a(b(f) ·g + f ·b(g)) −b(a(f) ·g + f ·a(g))
= ab(f) ·g + fab(g) −ba(f) ·g−f ·ba(g)
= (ab−ba)(f) ·g + f · (ab−ba)(g)
Stwierdzenie 2. (Der(), [ , ]), gdzie [a,b] = ab−ba, jest algebr¡ Liego.
1
Dowod: [a,b] = −[b,a], wi¦c mno»enie jest antyprzemienne. Pokazujemy, »e spełniona jest
to»samo±¢ Jacobiego:
[a, [b,c]] = [a,bc−cb] = abc−acb−bca
c
ba
= abc−bac−cab + cba + bac−bca−acb + cab
= [[a,b],c] + [a, [b,c]].
1.2. Ró»niczkowania mi¦dzy algebrami. Niech b¦d¡ dane dwie algebry i
0
, oraz
homomorfizm algebr F: !
0
, to znaczy jest to odwzorowanie liniowe zachowuj¡ce mno-
»enie:
F(ab) = F(a)F(b).
Liniowe odwzorowanie D: !
0
nazywamy F-ró»niczkowaniem, je»eli
D(ab) = D(a)F(b) + F(a)D(b).
Przykład: wektor v styczny do rozmaito±ci M w punkcie q jest ró»niczkowaniem z algebry
funkcji gładkich w algebr¦ liczb, wzgl¦dem homomorfizmu f 7! f(q).
Stwierdzenie 3. Zło»enie ró»niczkowania z homomorfizmem algebr jest ró»niczkowaniem.
Dowod: Oczywisty.
1.3. Algebry z gradacj¡. Algebra (,·) nazywana jest algebr¡ z gradacj¡, je»eli przestrze«
wektorowa jest sum¡ prost¡ =
q
, gdzie q 2Z (ogólniej - q nale»y do grupy abelowej,
np. Z
2
, Z×Z itp), a mno»enie spełnia warunek
je»eli f 2
q
, f
0
2
q
0
to f ·f
0
2
q+q
0
.
(1)
Algebr¦ z gradacj¡ nazywamy ł¡czn¡, je»eli jest ł¡czna w zwykłym sensie, przemienn¡ je»eli
f 2
q
, f
0
2
q
0
to f ·f
0
= (−1)
qq
0
f
0
·f 2
q+q
0
,
(2)
antyprzemienn¡ je»eli
f 2
q
, f
0
2
q
0
to f ·f
0
= −(−1)
qq
0
f
0
·f 2
q+q
0
.
(3)
Mno»enie w algebrze z gradacj¡ spełnia (gradowan¡) to»samo±¢ Jacobiego, je»eli
f 2
q
, g 2
r
to g· (f ·f
0
) = (g·f)f
0
+ (−1)
qr
f · (g·f
0
).
(4)
Algebra jest gradowan¡ algebr¡ Liego, je»eli mno»enie jest antyprzemienne i spełnia grado-
wan¡ to»samo±¢ Jacobiego.
Przykład: Algebra zewn¦trzna form ró»niczkowych ((M),^) na rozmaito±ci M z jest
gradowan¡ algebr¡. Stopie« w gradacji jest równy rz¦dowi formy. Algebra ta jest ł¡czna i
przemienna. Podobnie algebra zewn¦trzna pól wielowektorowych.
1.4. Ró»niczkowania w algebrach z gradacj¡.
Definition 2. Liniowe odwzorowanie a: ! nazywamy gradowanym ró»niczkowaniem
stopnia r, je»eli a:
q
!
q+r
oraz
a(f ·f
0
)a(f) ·f
0
+ (−1)
rq
f ·a(f
0
) dla f 2
q
.
(5)
To»samo±¢ Jacobiego (4) oznacza wi¦c, »e mno»enie przez element z
r
jest gradowanym
ró»niczkowaniem stopnia r.
2
Przykłady.
(1) Ró»niczkowanie zewn¦trzne d: (M) ! (M) jest gradowanym ró»niczkowaniem
stopnia 1.
(2) Zw¦»enie z polem wektorowym X,
X
: (M) ! (M) jest ró»niczkowaniem stopnia
-1.
(3) Odwzorowanie : (M) ! (M), zdefiniowane nast¦puj¡co:
:
k
(M) !
k
(M): 7! k
jest ró»niczkowaniem stopnia zerowego: dla 2
k
(M) i 2
l
(M)
(^) = (k + l)^ = (k) ^ + ^ (l) = () ^ + ^()
Oznaczmy przez Der() zbiór gradowanych ró»niczkowa« w zF. Podobnie, jak w przypzdku
zwykłej algebry, zbiór ró»niczkowa« jest przestrzeni¡ wektorow¡, zł»enie ró»niczkowa« nie
jest ró»niczkowaniem, ale komutator(gradowany) ró»niczkowa« jest ró»niczkowaniem:
Stwierdzenie 4. J¦»eli D
1
,D
2
2 Der() sa odpowiednio stopnia r
1
, r
2
, to gradowany
komutator
[D
1
,D
2
] = D
1
D
2
− (−1)
r
1
r
2
D
2
D
1
jest ró»niczkowaniem stopnia r
1
+ r
2
.
Dowod: Niech f 2
k
i g 2 , wówczas
[D
1
,D
2
](f ·g) = D
1
(D
2
(f ·g)) − (−1)
r
1
r
2
D
2
(D
1
(f ·g))
= D
1
(D
2
(f) ·g + (−1)
r
2
k
f ·D
2
(g)) − (−1)
r
1
r
2
D
2
(D
1
(f) ·g + (−1)
r
1
k
f ·D
1
(g))
= D
1
(D
2
(f)) ·g + (−1)
(k+r
2
)r
1
D
2
(f) ·D
1
(g) + (−1)
r
2
k
D
1
(f)D
2
(g)
+ (−1)
r
2
k+r
1
k
f ·D
1
(D
2
(g)) − (−1)
r
1
r
2
D
2
(D
1
(f)) ·g
+ (−1)
(k+r
1
)r
2
D
1
(f) ·D
2
(g) + (−1)
r
1
k
D
2
(f)D
1
(g) + (−1)
r
1
k+r
2
k
f ·D
2
(D
1
(g))
= (D
1
D
2
− (−1)
r
1
r
2
D
2
D
1
)(f) ·g + (−1)
(r
1
+r
2
)k
f · (D
1
D
2
− (−1)
r
1
r
2
D
2
D
1
)(g)
Podobnie sprawdzamy, »e zachodzi gradowana to»samo±¢ Jacobiego
[D
1
, [D
2
,D
3
]] = [[D
1
,D
2
],D
3
] + (−1)
r
1
r
2
[D
2
[D
1
,D
3
]],
lub równowa»nie,
(−1)
r
1
r
3
[[D
1
,D
2
],D
3
] + (−1)
r
2
r
3
[[D
3
,D
1
],D
2
] + (−1)
r
1
r
2
[[D
2
,D
3
],D
1
] = 0.
Przestrze« Der(), z gradacj¡ ze wzgl¦du na stopie« ró»niczkowania i gradowanym komu-
tatorem jako mno»eniem, jest gradowan¡ algebr¡ Liego.
1.5. Wa»ny przykład. Podobnie jak formy ró»niczkowe, pola wielowektorowe na rozma-
ito±ci M tworz¡ przemienna i ł¡czn¡ algebr¦ z gradacj¡, z iloczynem zewn¦trznym jako
mno»eniem. Oznaczamy j¡ (M). Ale pola wektorowe maj¡ jeszcze jedno mno»enie, na-
wias Liego. Nawias ten, jak wiemy, rozszerza si¦ do pochodnej Liego pól wielowektorowych.
Potraktujmy j¡ jako definicj¦ nawiasu pola wektorowego i pola wielowektorowego:
[X,T] = L
X
T, dla X 2
1
(M), T 2 (M).
(6)
3
Aby tak zdefiniowany nawias miał własno±¢ nawiasu w algebrze z gradacj¡, pole wektorowe
powinno mie¢ stopie« zero. Ogólnie pole wielowektorowe z
r
(M) powinno mie¢ stopie«
gradowany r− 1. Wprowadzamy wi¦c w zC(M) now¡ gradacj¦
(M) =
[r]
(M), gdzie
[r]
(M) =
r+1
(M).
(7)
W tej nowej gradacji pochodna Liego jest iloczynem gradowanym. Rozszerzamy ten nawias
do wszystkich pól wielowektorowych »¡daj¡c, by odwzorowanie
D
T
: ! : S 7! [T,S]
było, dla T 2
[r]
(M), ro»niczkowaniem stopnia r w gradowanej algebrze ł¡cznej ((M),^),
tzn. by
[T,Y ^Z] = [X,Y ] ^Z + (−1)
rl
X ^ [X,Z], dla X 2
l
(M).
Jest to mo»liwe, bo pochodna Liego ma własno±¢
L
X
(T ^S) = L
X
(T) ^S + T ^ (L
X
S).
Otrzymany w ten sposób nawias, zwany nawiasem Schoutena, jest gradowanym mno»eniem
w (M) =
[r]
(M). Sprawdza si¦ bezpo±rednim rachunkiem, »e nawias Schoutena nadaje
(M) struktur¦ gradowanej algebry Liego. Mamy wi¦c w (M) dwie struktury algebry z
gradacj¡:
(1) struktur¦ ł¡cznej i przemiennej algebry wzgl¦dem naturalnej gradacji,
(2) struktur¦ algebry Liego wzgl¦dem przesuni¦tej gradacji. Mno»enie tej algebry jest
ró»niczkowaniem w algebrze ł¡cznej.
Mówimy, »e (,^, [ , ]) jest algebr¡ Gerstenhabera.
1.6. Ró»niczkowania w algebrze form. Zajmiemy si¦ teraz ró»niczkowaniami w alge-
brze zewn¦trznej form ró»niczkowych na rozmaito±ci M.
Stwierdzenie 5. Ró»niczkowanie w (M) jest operacj¡ lokaln¡, tzn. je»eli forma ! jest
równa zero na zbiorze otwartym U i a jest ró»niczkowaniem, to a(!) te» est zero na U.
Dowod: Niech ! = 0 w otoczeniu O punktu q 2 M. Istnieje funkcja f równa 1 w pewnym
otoczeniu O
0
O punktu q i taka, »e f! = 0 na M. Poniewa» a jest ró»niczkowaniem, to
0 = a(f!) = a(f) ^! + fa(!).
Poniewa» ! jest równe zero na O, to 0 = fa(!) na O i a(!) = 0 na O
0
. St¡d wynika teza.
Na rozmaito±ci parazwartej ka»da forma jest sko«czon¡ sum¡ iloczynów zewn¦trznych
funkcji i ró»niczek funkcji. St¡d ró»niczkowanie w (M) jest jednoznacznie wyznaczone
przez swoje warto±ci na
0
(M) i d
0
(M). W dalszym ci¡gu u»yteczne b¦dzie nast¦puj¡ce
stwierdzenie.
Proposition 6. Niech (x
i
) b¦dzie lokalnym układem współrz¦dnych na O M. Dla ka»dej
funkcji f i ka»dego ró»niczkowania a
a(f)(q) =
@f
@x
i
(q)a(x
i
)(q)
dla q 2 O.
(8)
Dowod: Z lokalno±ci ró»niczkowa« wynika, »e mo»emy ograniczy¢ sie do f z no±nikiem
w O. Z wzoru całkowego na reszt¦ funkcji jednej zmiennej dostajemy, »e istniej¡ gładkie
funkcje g
ij
takie, »e
f(x) = f(x
0
) +
@f
@x
i
(x
0
)(x
i
−x
0
) + g
ij
(x)(x
i
−x
0
)(x
j
−x
0
).
St¡d
a(f)(x
0
) =
@f
@x
i
(x
0
)a(x
i
)(x
0
).
(ró»niczkowanie na funkcjach stałych daje zero).
4
Definicja 3. Ró»niczkowanie a jest typu
, je»eli na funkcjach jest zero.
Ró»niczkowanie a jest typu d
, je»eli komutuje z d czyli ad − (−1)
r
da = 0, gdzie r jest
stopniem ró»niczkowania a.
Stwierdzenie 7. Ka»de odwzorowanie lokalne a:
0
(M) !
r
(M) takie, »e
a(fg) = ga(g) + fa(g),
(9)
mo»na jednoznacznie rozszerzy¢ do ró»niczkowania a typu d
, stopnia r.
Dowod: Jednoznaczno±¢ jest oczywista. Poka»emy istnienie. Z lokalno±ci a wynika, »e wy-
starczy zdefiniowa¢ a na 1-formach o no±niku w dziedzinie lokalnego układu współrz¦dnych.
Niech wi¦c =
P
i
dx
i
. Je»eli a ma by¢ rozszerzeniem a, to
X
(a(
i
) ^ dx
i
+ (−1)
r
X
X
(a(
i
) ^ dx
i
+ (−1)
r
X
i
da(x
i
)) =
i
da(x
i
)).
a() =
Przyjmijmy to wyra»enie jako definicj¦ a
x
(). Trzeba teraz pokaza¢, »e wynik nie zale»y od
wyboru układu współrz¦dnych. W układzie współrz¦dnych (y
i
) mamy =
P
i
@x
i
@y
j
dy
j
i
X
@y
j
) ^ dy
j
+ (−1)
r
X
@x
i
@x
i
@y
j
da(y
j
)
a
y
() =
a(
i
i
X
X
@y
j
) ^ dy
j
+ (−1)
r
X
a(
i
) ^ (
@x
i
i
a(
@x
i
i
@x
i
@y
j
dy
j
) +
@y
j
da(y
j
)
=
X
X
a(
@x
i
@y
j
) ^ dy
j
+ (−1)
r
@x
i
a(
i
) ^ dx
i
+
@y
j
da(y
j
)
=
i
.
(10)
Trzeba zatem pokaza¢, »e
da(x
i
) = (−1)
r
X
X
@x
i
@y
j
da(y
j
).
Wyprowadzaj¡c wzór (8) korzystali±my tylko z własno±ci (9) ró»niczkowania a. Analogicznie
wi¦c, mamy
a(
@x
i
@y
j
) ^ dy
j
+
a(f)(q) =
@f
@x
i
(q)a(x
i
)(q)
dla q 2 O
(11)
i st¡d
X
@
2
x
i
@y
j
@y
k
dy
k
^ a(y
j
) +
X
@x
i
@y
j
da(y
j
)
da(x
i
) =
X
X
@x
i
@y
j
da(y
j
)
dy
k
^ a(
@x
i
=
@y
k
) +
X
@x
i
@y
j
da(y
j
).
Zatem a
x
= a
y
= a. Pozostaje do sprawdzenia, »e a(g) = a(g)^ + ga(). Korzystaj¡c z
(9) dostajemy
= (−1)
r
X
a(
@x
i
@y
k
) ^ dy
k
+
X
X
a(g
i
) ^ dx
i
+
g
i
da(x
i
)
a(g) =
X
X
i
dx
i
+ g
a(
i
) ^ dx
i
+
i
da(x
i
)
= a(g) ^
= a(g) ^ + ga().
Oczywistym jest, »e komutator
-ró»niczkowa« jest
-ró»niczkowaniem. Podobnie, ko-
mutator d
-ró»niczkowa« jest d
-ró»niczkowaniem:
[d, [a
1
,a
2
]] = [[d,a
1
],a
2
] + (−1)
r
[a
1
, [d,a
2
]] = 0.
Stwierdzenie 8. Ka»de ró»niczkowanie w (M) rozkłada si¦ jednoznacznie na sum¦ ró»-
niczkowania typu
i ró»niczkowania typu d
.
5
Plik z chomika:
Marudziara
Inne pliki z tego folderu:
Burnecki M - Algebra z geometrią analityczną. Zadania z odpowiedziami.pdf
(283 KB)
Rubinowicz Wojciech - Wektory i tensory.pdf
(11689 KB)
Stark Marceli - Geometria analityczna.pdf
(30172 KB)
Sierpiński Wacław - Zasady algebry wyższej.pdf
(30540 KB)
Borsuk Karol - Geometria analityczna w n- wymiarach.pdf
(28898 KB)
Inne foldery tego chomika:
@ Biblioteczka opracowań matematycznych
@ Matematyka. Powtórzenia
@ Matematyka. Rozwiązania
@ Matematyka. Serie
@ Nowicki A - Podróże po Imperium Liczb. wyd 2
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin