Balcerzak M - Wykłady z teorii miary.pdf

(1869 KB) Pobierz
Wykªady z teorii miary
Marek Balcerzak
2010
Przestrze« z miar¡
Miara Jordana na pªaszczy¹nie (i ogólnie w przestrzeni R k ) jest precyzyjnym poj¦ciem pola
powierzchni (obj¦tosci wielowymiarowej) zbioru. Przypomnijmy, »e zbiór jest mierzalny w
sensie Jordana wtedy i tylko wtedy, gdy jego miara wewn¦trza Jordana jest równa mierze
zewn¦trznej Jordana (por. np. podr¦cznik F. Leja, Rachunek ró»niczkowy i caªkowy, PWN).
Jednak»e miara Jordana mierzy zbyt w¡sk¡ klas¦ zbiorów. Przykªadem zbioru niemierzalne-
go w sensie Jordana na pªaszczy¹nie jest ÿkwadrat wymierny" A = (Q\ [0; 1]) 2 . Jego miara
wewn¦trzna Jordana jest 0, za± miara zewn¦trzna wynosi 1. Miara zbioru A ÿpowinna" by¢
równa 0, gdy» jest to zbiór przeliczalny. Istotnie, sumuj¡c miary zerowe zbiorów jednoele-
mentowych zªo»onych z poszczególnych punktów tego zbioru, powinni±my otrzyma¢ ÿª¡czn¡
miar¦" równ¡ 0. Jest to niewykonalne, bo miara Jordana nie ma wªasno±ci
[
1
X
1
m(
A n ) =
m(A n );
(1)
n=1
n=1
gdzie zbiory A n s¡ mierzalne parami rozª¡czne. Wªasno±¢ (1) zwana przeliczaln¡ addytyw-
no±ci¡ miary przysªuguje poj¦ciu ogólniejszemu ni» miara Jordana pochodz¡cemu od Lebes-
gue'a.
Wiemy, »e miara Jordana ma ±cisªy zwi¡zek z caªk¡ Riemanna, której warto±¢ dla funkcji
caªkowalnej nieujemnej na przedziale zwartym jest polem powierzchni (miar¡ Jordana) od-
powiedniego zbioru poªo»onego mi¦dzy wykresem funkcji i osi¡ OX (podwykresu). Dla miary
Lebesgue'a, któr¡ poznamy, analogiczn¡ rol¦ peªni caªka Lebesgue'a pozwalaj¡ca caªkowa¢
szerok¡ klas¦ funkcji na zbiorach pochodz¡cych z obszernej klasy. Idea caªki Lebesgue'a jest
inna ni» koncepcja caªki Riemanna. Caªka Lebesgue'a jest ogólniejsza ni» caªka Riemanna i
ma wiele zalet, na przykªad dziaªaj¡ dla niej twierdzenia o przechodzeniu do granicy mniej
restrykcyjne ni» znane twierdzenie dla caªki Riemanna zakªadaj¡ce zbie»no±¢ jednostajn¡ ci¡-
gu funkcji podcaªkowych (por. np. podr¦cznik W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej,
PWN).
1
Na pocz¡tek poznamy poj¦cia -ciaªa i miary na -ciele. W przestrzeni metrycznej okre-
±limy -ciaªo zbiorów borelowskich. Omówimy te» wªasno±ci zbiorów miary zero i poj¦cie
miary zupeªnej.
Denicja 1. Niech X bedzie zbiorem. RodzinaSpodzbiorów zbioru X nazywa si¦ -ciaªem,
gdy:
(1) ;2S
,
(2) je±li A 2S
, to X nA 2S
;
S
(3) je±li A n 2S
dla n 2N, to
n2N A n 2S
.
Uwaga 1. Je±li warunek (3) zast¡pi¢ przez warunek sªabszy
(3 0 ) je±li A 1 ;A 2 2S
, to A 1 [A 2 2S
,
to rodzina
speªniaj¡ca (1), (2), (3 0 ) nazywa si¦ ciaªem. Warunek (3 0 ) nazywa si¦ addytyw-
no±ci¡, za± (3) { -addytywno±ci¡ (przeliczaln¡ addytywno±ci¡).
S
Uwaga 2. Dowodzi si¦, »e rodzina zbiorów mierzalnych w sensie Jordana w R k jest ciaªem,
ale nie jest -ciaªem.
Przykªady.
1.) Rodzina
P
(X) wszystkich podzbiorów zbioru X jest -ciaªem.
2.) Niech A X. Rodziny f;;Xg, f;;A;X nA;Xg s¡ -ciaªami.
3.) Niech X b¦dzie zbiorem niesko«czonym i niech
oznacza rodzin¦ tych podzbiorów
zbioru X, które s¡ sko«czone lub ich dopeªnienia s¡ sko«czone. Wtedy
S
S
jest ciaªem.
4.) Niech X b¦dzie zbiorem nieprzeliczalnym i niech
oznacza rodzin¦ tych podzbiorów
zbioru X, które s¡ przeliczalne lub których dopeªnienia s¡ przeliczalne. WtedySjest
-ciaªem.
S
5.) Niech X = [0; 1) i niech rodzinaSskªada si¦ ze sko«czonych sum przedziaªów postaci
[a;b) dla 0 ¬ a < b ¬ 1 i zbioru pustego. Wtedy
S
jest ciaªem.
Twierdzenie 1 (wªasno±ci -ciaªa). Niech
SP
(X) b¦dzie -ciaªem. Zachodz¡ nast¦pu-
j¡ce wªasno±ci:
1.) X 2S
;
S
n
i=1 A i 2S
2.) je±li A 1 ;:::;A n 2S
, to
;
2
T
3.) je±li A n 2S
dla n 2N, to
n2N A n 2S
;
T
n
i=1 A i 2S
4.) je±li A 1 ;:::;A n 2S
, to
;
5.) je±li A;B 2S
, to AnB 2S
.
Dowód. Ad 1.) Mamy X = X n;2S
, bo ;2S
.
T
S
Ad 3.) Mamy
n2N A n = X n (
n2N (X nA n )) 2S
, bo wystarczy zastosowa¢ denicj¦ 1,
warunki (1) i (2).
Dowody pozostaªych wªasno±ci polecamy jako ¢wiczenie.
Twierdzenie 1 mówi o tym, »e -ciaªo jest rodzin¡ zbiorów zamkni¦t¡ ze wzgl¦du na
sko«czone i przeliczalne operacje teoriomnogo±ciowe. Podobnie uzasadnia si¦, »e ciaªo jest
rodzin¡ zbiorów zamkni¦t¡ wzgl¦dem sko«czonych operacji teoriomnogo±ciowych.
Twierdzenie 2. Niech
(X) b¦dzie niepust¡ rodzin¡. Wówczas istnieje najmniejsze (w
sensie inkluzji) -ciaªo (F) P(X) zawieraj¡ce rodzin¦F.
FP
Dowód. Niech fS t : t 2 Tg b¦dzie rodzin¡ wszystkich -ciaª zawieraj¡cych rodzin¦
i zawar-
tych wP(X) { jest to rodzina niepusta, bo jednym z takich -ciaª jestP(X). Poªó»my
F
\
t2T S t :
(F) =
Wtedy
F (
F
) P
(X) oraz (
F
) jest -ciaªem (uzasadni¢!). Je±li
S jest pewnym -ciaªem
zawieraj¡cym
F
, to
S =
S t dla pewnego t 2 T. Zatem (
F
) S . Oznacza to, »e (
F
) jest
najmniejszym -ciaªem zawieraj¡cym
F
.
Uwaga 3. -ciaªo (
F
) nazywa si¦ -ciaªem generowanym przez rodzin¦
F
.
Denicja 2. Niech (X;d) b¦dzie przestrzeni¡ metryczn¡. Zbiorem borelowskim w tej prze-
strzeni nazywamy ka»dy zbiór nale»¡cy do -ciaªa (
oznacza rodzin¦ wszystkich
zbiorów otwartych przestrzeni X. Rodzin¦ wszystkich podzbiorów borelowskich przestrzeni
X oznacza¢ b¦dziemy przez
T
), gdzie
T
B
(X).
Uwaga 4. Z denicji -ciaªa
(X) wynika, »e oprócz zbiorów otwartych w X nale»¡ do
niego wszystkie zbiory domkni¦te w X (jako dopeªnienia zbiorów otwartych), a tak»e zbiory
postaci
B
S
n2N F n , gdzie F n s¡ domkni¦te (zbiory takiej postaci nazywaj¡ si¦ zbiorami typu
F-sigma (F )) jak równie» zbiory postaci
T
n2N G n , gdzie G n s¡ otwarte (zwane zbiorami
typu G-delta (G )). W podobny sposób okre±lamy kolejne typy zbiorów borelowskich F ,
F ;::: oraz G , G , G ;::: .
Denicja 3. Niech
S
b¦dzie -ciaªem podzbiorów zbioru X. Funkcj¦ :
S! [0;1] nazywa-
my miar¡, gdy
3
1 0 (;) = 0;
S
P
1
n=1 A n ) =
1
n=1 (A n )
2 0
je±li A n 2S
dla n 2 N oraz A i \ A j = ; dla i 6= j, to (
(przeliczalna addytywno±¢).
Trójk¦ (X;
S
;), gdzie jest miar¡ na -ciele
S
nazywa si¦ przestrzeni¡ z miar¡.
Niech (X:S;) b¦dzie przestrzeni¡ z miar¡.
Je±li A 2Si (A) = 0, to mówimy, »e A jest zbiorem miary zero.
Je±li A 2S
i (A) < 1, to mówimy, »e A jest zbiorem miary sko«czonej.
Je±li (X) < 1, to mówimy, »e miara jest sko«czona.
Je±li (X) = 1, to mówimy, »e miara jest unormowana (probabilistyczna).
S
Je±li istnieje ci¡g (A n ) n2N taki, »e A n 2S
i (A n ) < 1 dla n 2N oraz X =
n2N A n ,
to mówimy, »e miara jest -sko«czona.
Przykªady. Podamy kilka przykªadów przestrzeni z miar¡.
1.) (X;
P
(X);), gdzie (A) = 0 dla ka»dego zbioru A 2P
(X) (miara zerowa).
2.) (X;
P
(X);), gdzie dla dowolnego A 2P
(X) deniujemy
(
card(A) gdy card(A) < 1
1 gdy card(A) = 1.
(A) =
Wtedy jest tzw. miar¡ licz¡c¡.
3.) (X;
(X);); miar¦ deniujemy tak, »e ustalamy x 0 2 X i wtedy dla dowolnego
A 2P
P
(X) deniujemy
(
0
gdy x 0 2 A
(A) =
1
gdy x 0 2 A:
P
1
n=1 a n b¦dzie szeregiem
4.) (N;
P
(N);), gdzie miar¦ okre±lamy nast¦puj¡co: niech
P
zbie»nym o wyrazach nieujemnych, wtedy (A) =
n2A a n dla A 2P
(N).
Twierdzenie 3 (wªasno±ci miary). Niech (X;
S
;) b¦dzie przestrzeni¡ z miar¡. Wówczas
zachodz¡ nast¦puj¡ce wªasno±ci:
S
P
n
i=1 A i ) =
n
i=1 (A i ) (sko«czona
(1) je±li A 1 ;:::;A n 2S
, A i \A j = ; dla i 6= j, to (
addytywno±¢);
4
(2) jest niemalej¡c¡ funkcj¡ zbioru, tzn. je±li A;B 2S
i A B, to (A) ¬ (B);
(3) je±li A;B 2S
, A B i (B) < 1, to (BnA) = (B) (A);
S
P
1
n=1 (A n ) (przeliczalna subaddy-
1
n=1 A n ) ¬
(4) je±li A n 2S
dla ka»dego n 2 N, to (
tywno±¢);
S
P
n
i=1 A i ) ¬
n
i=1 (A i );
(4 0 ) je±li A 1 ;:::;A n 2S, to (
(5) dla dowolnego wst¦puj¡cego ci¡gu (A n ) n2N zbiorów (A n A n+1 , n 2 N) nale»¡cych
doSmamy (
S
1
n=1 A n ) = lim n!1 (A n );
(6) dla dowolnego zst¦puj¡cego ci¡gu (A n ) n2N zbiorów (A n+1 A n , n 2N) nale»¡cych do
S
T
1
n=1 A n ) = lim n!1 (A n ), o ile (A 1 ) < 1.
mamy (
Dowód. Ad (1). Wystarczy poªo»y¢ A n+1 = A n+2 = = ; i zastosowa¢ przeliczaln¡
addytywno±¢ miary.
Ad (2). Mamy B = A[ (B nA), B nA 2S
, A\ (B nA) = ;, wi¦c korzystaj¡c z (1),
otrzymujemy (A) ¬ (A) + (BnA) = (B).
Ad (3). Jak w (2) mamy (A) + (B nA) = (B) i je±li (B) < 1, to (A) < 1 (na
mocy (2)), wi¦c (BnA) = (B) (A) i odejmowanie po prawej stronie jest wykonalne.
Ad (4). Deniujemy ci¡g (B n ) n2N wzorami B 1 = A 1 oraz B n = A n n
S
n1
i=1 A i dla n ­ 2.
S
S
S
n
i=1 B i =
n
i=1 A i , n 2N (wykaza¢!). St¡d wynika, »e
1
i=1 B i =
Wtedy B n 2S
, n 2N oraz
S
1
i=1 A i . Ponadto B i \B j = ; dla i 6= j. Zatem korzystaj¡c z (2) i inkluzji B i A i , mamy
[
[
X
X
(
A i ) = (
B i ) =
(B i ) ¬
(A i ):
i=1
i=1
i=1
i=1
Ad (4 0 ). Poªó»my w (4) A n+1 = A n+2 = = ;.
Ad (5). Zaczynamy podobnie jak w (4). Deniujemy zbiory B n , n 2 N nast¦puj¡co:
B 1 = A 1 , B n = A n nA n1 , n ­ 2. Wtedy
[
[
X
X
[
(
A n ) = (
B n ) =
(B n ) = lim
n!1
(B i ) = lim
n!1
(
B i ) = lim
n!1
(A n ):
n=1
n=1
n=1
i=1
i=1
Ad (6). Polecamy jako ¢wiczenie. Wskazówka: okre±li¢ D n = A 1 nA n , n 2 N; zauwa»y¢,
»e ci¡g (A n ) n2N jest wst¦puj¡cy, a nast¦pnie zastosowa¢ (5) i (3).
wiczenie 1. (a) Uzasadni¢, »e w twierdzeniu 3 wystarczy zakªada¢, »e (A n 0 ) < 1 dla
pewnego n 0 2N.
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin