Kotus J - Zadania z funkcji zespolonych (z odpowiedziami).pdf
(
306 KB
)
Pobierz
Zadania z funkcji zespolonych
III semestr
1
Spis tresci
1. Liczby zespolone - dzialania i wlasnosci
Zad. 1{10
2. Pochodna funkcji zmiennej zespolonej, holomorcznosc
Zad. 11-19
3. Funkcje elementarne
Zad. 20-32
4. Odwzorowania konforemne
Zad. 33-49
5. Calki zespolone, twierdzenia calkowe Cauchy'ego
Zad. 50-58
6. Szeregi Taylora
Zad. 59-72
7. Szeregi Laurenta, klasykacja punktow osobliwych
Zad. 73-78
8. Calki rzeczywiste
Zad. 79-99
9. Twierdzenie Rouche, zasada maksimum
Zad. 100-110
2
1. Liczby zespolone - dzialania i wlasnosci
1. Wykonac nast epuj ace dzialania na liczbach zespolonych:
(a) (1 + i)(2 + i) + (1 i)(2 i),
(b) (1 + 2i)(3 i)(5 5i),
(c)
1+2i
3+i
,
(1+i)
7
1
(d)
(1i)
4
1
.
1
2
+
2
i,
7
5
5
i.
Odpowiedzi: a) 2, b) 50,
c)
d)
2. Udowodnic rownosc jz + iwj
2
+ jw + izj
2
= 2(jzj
2
+ jwj
2
) dla z;w 2C. Wywnioskowac
st ad, ze jz + iwj
2
2(jzj
2
+ jwj
2
) dla z;w 2C.
3. Zapisac w postaci trygonometrycznej nast epuj ace liczby zespolone:
p
(a) 2 + 2
3i,
p
(b)
3 + i,
1i
1+
p
3i
,
(d) 2 + 2
p
3i,
(e)
p
(c)
3 i.
Odpowiedzi:
a) 4(cos(
3
) + i sin(
3
)),
b) 2
(c
os(
6
) + i sin(
6
)),
c)
p
2
2
(cos(
17
12
) + i sin(
17
12
)),
d) 4(cos(
2
3
) + i sin(
2
3
)),
e) 2(cos(
5
6
) + i sin(5
6
)).
4. Korzystaj ac ze wzorow Moivre'a obliczyc:
p
3i)
30
,
(b) (1 + i)
2005
,
(a) (1 +
3
(c)
+
2
i
2004
p
3
2
,
(2+2
p
3i)
16
(d)
(1+
p
3i)
7
,
(1
+
i)
80
(1
i)
80
(e)
(
p
3+i)
18
+
(
p
3i)
18
,
(f)
4
p
16,
(g)
3
p
i,
(h)
6
p
1.
Odpowiedzi:
a) 2
3
,
b) 2
1002
(1 + i),
c) 1,
d) 2
25
(1 + i
p
3),
e) 2,
f) z
0
=
p
p
2,
z
1
=
p
p
2, z
2
=
p
p
p
p
2 + i
2 + i
2 i
2, z
3
=
2 i
2,
p
3
p
3
2
i
2
, z
2
=
2
i
2
,
g) z
0
= i, z
1
=
p
3
p
3
p
3
p
3
1
2
, z
2
=
2
+i
2
, z
3
= 1, z
4
=
2
i
1
h) z
0
= 1, z
1
=
2
+i
2
, z
5
=
2
i
2
.
5. Obliczyc:
(a)
p
8 6i,
(b)
p
3 4i,
(c)
p
11 + 60i.
Odpowiedzi:
a) a
1
+ ib
1
= 1 + i3, a
2
+ ib
2
= 1 i3,
b) a
1
+ ib
1
= 2 + i, a
2
+ ib
2
= 2 i,
c) a
1
+ ib
1
= 5 + i6, a
2
+ ib
2
= 5 i6.
6. Rozwi azac w dziedzinie zespolonej rownania:
(a) z
3
= 8i,
(b) z
4
= 16,
4
(c) z
6
+ 64 = 0,
(d) (1 i)
4
z
4
= 1,
(e) jzjz = 1 + 2i,
(f) (zz)
2
z
2
+ z
2
1 = 0,
(g) zz + (z z) = 3 + 2i,
(h) z
7
z
4
i + z
3
i = 0,
(i) z
6
z
4
+ 4z
2
4 = 0.
Odpowied
z
i:
a) z
0
=
p
3 + i, z
1
=
p
3 + i, z
2
= 2,
b) z
0
= 2, z
1
= 2i, z
2
= 2, z
4
=
2i,
c) z
0
=
p
3
+ i, z
1
=
2i, z
2
=
p
3 + i, z
3
=
p
p
3i, z
4
= 2i, z
5
=
3i,
p
p
p
p
2
2
2
2
d) z
0
=
2
, z
1
=
2
i, z
2
=
2
, z
3
=
2
i,
3
2
2i,
f) z
0
= i, z
1
= 1, z
2
= 1, z
3
= 1,
g) z
1
=
e) z =
p
2
+
i, z
2
=
p
2
+
i,
p
3
p
3
p
2
p
2
p
2
p
2
2
+
2
i
,
z
1
=
2
+
2
i
, z
2
= i, z
3
=
h) z
0
=
2
+
2
i, z
4
=
2
+
2
i,
p
p
p
p
2
2
2
2
2
i
i) z
1
= 1, z
2
= 1, z
3
= 1 + i, z
4
= 1 + i, z
5
= 1 i, z
6
= 1 i.
z
5
=
2
2
i, z
6
=
2
7. Niech z
0
b edzie pierwiastkiem wielomianu o wspolczynnikach rzeczywistych. Udowodnic,
ze z
0
jest takze pierwiastkiem wielomianu W(z).
8. Znalezc pozostale pierwiastki wielomianu w(z) = z
4
4z
3
+ 4z
2
+ 4z 5 wiedz ac, ze
z
0
= 2 i jest pierwiastkiem tego wielomianu.
Odpowiedz: z
1
= 2 + i, z
2
= i, z
3
= 1.
9. Znalezc pozostale pierwiastki wielomianu w(z) = z
4
4z
3
+ 6z
2
4z + 5 wiedz ac, ze
z
0
= 2 + i jest pierwiastkiem tego wielomianu.
Odpowiedz: z
1
= 2 i, z
2
= i, z
3
= 1.
5
Plik z chomika:
heroinka94
Inne pliki z tego folderu:
Długosz J - Funkcje zespolone. Teoria, przykłady, zadania. wyd 5.pdf
(10660 KB)
Szabat B - Wstęp do analizy zespolonej.pdf
(51693 KB)
Jarnicki M - Wykłady z Funkcji Analitycznych.pdf
(735 KB)
Ganczar A - Analiza zespolona w zadaniach [bez rozd 9,10].pdf
(102391 KB)
Lenda A - Funkcje zmiennej zespolonej.pdf
(4955 KB)
Inne foldery tego chomika:
_Matematyka. Rozwiązania
_Matematyka. Serie
_VIDEO MatematykaTV
_VIDEO Szukając Einsteina. Matematyka
01 Działania
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin