Spis treści:
1. Funkcja produkcji i jej własności
3. Równanie Solowa oraz jego interpretacja ekonomiczna
4. Mechanizm dochodzenia do długookresowej równowagi w modelu Solowa
5. Ścieżka zrównoważonego wzrostu
Słowa kluczowe: funkcja produkcji, stałe efekty skali, równanie Solowa, równowaga w modelu Solowa, wzrost zrównoważony
Funkcja produkcji (określana czasami w literaturze – agregatowa funkcja produkcji) opisuje zależność między wielkością produkcji wytwarzanej w gospodarce a nakładami czynników produkcji (Kwiatkowski, Kucharski, Raczko, 2006: 286). Przy założeniu, że zasób wiedzy pozostaje niezmieniony możemy ją zapisać następująco:
(1)
gdzie: Y – wielkość produkcji; K – nakłady kapitału; L – nakłady pracy.
Przyjmujemy, iż w każdym punkcie czasowym gospodarka dysponuje pewnym zasobem kapitału i pracy, które są wykorzystywane w celu wytwarzania produktów. Ponadto przyjmujemy, iż nie da się wytwarzać produktów przy wykorzystaniu tylko jednego z czynników produkcji, to znaczy, że w gospodarce występuje ograniczona substytucyjność czynników produkcji.
Przyjmujemy, że funkcja produkcji opisana równaniem (1) spełnia następujące warunki:
(a) . (2)
gdzie: MPK – krańcowy produkt kapitału; MPL – krańcowy produkt pracy; dY – przyrost produkcji; dK – przyrost nakładów kapitału, dL – przyrost nakładów pracy.
Spełnienie założenia (a) oznacza, że zwiększanie nakładów kapitału lub nakładów pracy prowadzić będzie do zwiększenia produkcji. Krańcowy produkt kapitału to stosunek przyrostu produkcji do przyrostu nakładów kapitału (Kwiatkowski, Kucharski, Raczko, 2006: 286) Krańcowy produkt pracy to stosunek przyrostu produkcji do przyrostu nakładów pracy (Kwiatkowski, Kucharski, Raczko, 2006: 286).
(b) . (3)
gdzie: dMPL – przyrost krańcowego produktu pracy; dMPK – przyrost krańcowego produktu kapitału.
Warunek ten wskazuje, że zwiększanie nakładów jednego czynnika produkcji (przy stałych nakładach drugiego czynnika produkcji) daje coraz mniejszy przyrost produkcji. Spełnienie warunków (a) i (b) oznacza, że funkcja produkcji spełnia prawo malejącej produkcyjności krańcowej względem obu czynników produkcji. Prawo malejących przychodów głosi, iż w miarę wzrostu nakładów jednego czynnika produkcji (przy stałych nakładach drugiego czynnika) produkcja rośnie, ale coraz wolniej, zaś krańcowy produkt tego czynnika maleje.
(c) Funkcja produkcji opisana równaniem (1) charakteryzuje się stałymi efektami skali, czyli a-krotne (a>0) zwiększenie nakładów kapitału i pracy powoduje a-krotny przyrost wielkości produkcji. Funkcja produkcji opisana równaniem (1) jest jednorodna stopnia pierwszego. A zatem, funkcja produkcji spełnia następujące równanie:
(4)
Równanie (4) to tzw. warunek jednorodności funkcji stopnia pierwszego (Kwiatkowski, Kucharski, Raczko, 2006: 287).)
(d) Funkcja produkcji opisana równaniem (1) spełnia warunki Indy, które możemy zapisać w następujący sposób:
(5a)
oraz:
(5b)
To znaczy, że przy bardzo małych nakładach kapitału (pracy) zwiększenie nakładów kapitału (pracy) daje bardzo duży przyrost produkcji (zbieżny do nieskończoności) (Romer, 2000: 28). Przy bardzo dużych nakładach kapitału (pracy) zwiększenie nakładów kapitału (pracy) daje bardzo mały przyrost produkcji (zbieżny do zera) (Romer, 2000: 498).
Ponieważ funkcja produkcji jest jednorodna stopnia pierwszego, to dzieląc obustronnie równanie (1) przez L, otrzymujemy (Kwiatkowski, Kucharski, Raczko, 2006: 287):
(6)
gdzie: – wydajność pracy; – techniczne uzbrojenie pracy.
Wydajności pracy to poziom produkcji przypadający na jednego zatrudnionego. Techniczne uzbrojenie pracy to poziom kapitału przypadający na jednego zatrudnionego. Jeśli wydajność pracy oznaczymy literą ỹ, zaś techniczne uzbrojenie pracy literą , to równanie (6) możemy zapisać następująco:
(7)
Równanie (7) to równanie funkcji wydajności pracy. Funkcja wydajności pracy opisuje zależność między wydajnością pracy a technicznym uzbrojeniem pracy. Wydajność pracy rośnie wraz ze wzrostem technicznego uzbrojenia pracy, ale coraz wolniej. Innymi słowy, funkcja wydajności pracy jest rosnąca i wklęsła względem technicznego uzbrojenia pracy. Ilustrację graficzną równania (7) przedstawiono na rysunku 1.
Rys. 1. Funkcja wydajności pracy
Źródło: Kwiatkowski, Kucharski, Raczko 2006: 288.
Funkcja produkcji spełniająca założenia a–d, w literaturze ekonomicznej określana jest mianem neoklasyczna funkcja produkcji.
Model Solowa w literaturze ekonomicznej jest nazywany neoklasycznym modelem wzrostu, gdyż opiera się on na modelach klasycznych (Hall, Taylor, 2000: 86). Podstawowa wersja modelu Solowa została po raz pierwszy opublikowana w 1956 roku przez Roberta Solowa (Solow, 1956: 65–94) i w dalszym ciągu jest punktem wyjścia każdej analizy wzrostu gospodarczego.
Model Solowa jest modelem długookresowym oraz modelem podażowym. To znaczy, że przyjmuje się w nim założenie, iż gospodarka funkcjonuje przy pełnym wykorzystaniu czynników produkcji. Poziom produkcji w gospodarce Solowa zależy od czynników podażowych, czyli zasobu kapitału, zasobu pracy oraz zasobu wiedzy. Podstawowe założenia modelu Solowa dotyczą właściwości funkcji produkcji oraz zmian w czasie zasobów kapitału, pracy oraz wiedzy. Zasoby: kapitału, siły roboczej, wiedzy oraz strumienie: produkcji, inwestycji oraz oszczędności traktujemy jako wielkości ciągłe w czasie. To znaczy, że wszystkie wymienione wielkości są określone w każdym punkcie czasu. Potraktowanie czasu jako wielkość dyskretną w niczym nie zmienia wniosków płynących z modelu.
W modelu Solowa przyjmujemy następujące założenia (Romer, 2000: 25–30):
1) Proces produkcji w analizowanej gospodarce opisany jest przez funkcję produkcji (spełniającą warunki a–d):
(8)
gdzie: A – zasób wiedzy.
Takie umiejscowienie A w funkcji produkcji oznacza, że w analizowanej gospodarce mamy do czynienia z postępem technicznym zasilającym pracę, czyli z postępem technicznym neutralnym w sensie Harroda (Romer, 2000: 26). Postęp techniczny to dynamiczny proces umożliwiający zwiększenie produkcji przy danych nakładach kapitału i pracy lub osiągnięcie tego samego poziomu produkcji przy niższych nakładach kapitału i pracy.
2) W analizowanej gospodarce jest wytwarzane jedno dobro. Przyjmujemy ponadto, iż gospodarka Solowa jest gospodarką zamkniętą bez udziału państwa. Co oznacza, że produkt wytworzony w tej gospodarce jest dzielony na konsumpcje i inwestycje:
(9)
3) Inwestycje są finansowane z oszczędności (przyjmujemy założenie, że w gospodarce nie ma opóźnień czasowych):
(10)
gdzie: S – oszczędności; I – inwestycje.
4) Funkcja oszczędności jest postaci:
(11)
gdzie: s – stopa oszczędności.
Przyjmujemy, że stopa oszczędności jest stała w czasie. Stopa oszczędności to udział oszczędności w produkcji.
5) Przyrost zasobu kapitału w czasie wynosi:
(12)
gdzie: – przyrost zasobu kapitału w czasie (jest to pochodna kapitału po czasie – );[1] I – inwestycje; δ – stopa deprecjacji kapitału; dt – przyrost czasu.
Stopa deprecjacji kapitału to odsetek kapitału, który się zużywa w procesie produkcji. Stopa deprecjacji kapitału taj samo, jak stopa oszczędności jest wielkością egzogeniczną.
6) Stopa wzrostu zatrudnienia w gospodarce wynosi:
(13)
gdzie: – przyrost zasobu siły roboczej w czasie (jest to pochodna zatrudnienia po czasie – ).
Stopa wzrostu zatrudnienia to stosunek przyrostu zatrudnienia do poziomu zatrudnienia w okresie poprzednim.
7) Stopa postępu technicznego wynosi:
(14)
gdzie: – przyrost zasobu wiedzy w czasie (jest to pochodna zasobu wiedzy względem czasu – ); m – stopa postępu technicznego.
Stopa postępu technicznego to przyrost zasobu wiedzy do zasobu wiedzy w okresie poprzednim. Postęp techniczny w modelu Solowa ma charakter egzogeniczny, czyli w odróżnieniu od teorii endogenicznego wzrostu nie objaśniamy źródeł postępu technicznego (Hall, Taylor, 2000: 94–95).
Wymieniając wszystkie te założenia zdefiniowaliśmy warunki funkcjonowania gospodarki Solowa. Przejdźmy do analizy funkcjonowania tej gospodarki. Dzieląc obustronnie równanie (12) przez (AL) otrzymujemy:
(15)
Wyrażenie (AL) to nakłady pracy w ujęciu efektywnym (zasilone przez zasób wiedzy). Z założeń 3–4 wynika, że I = S oraz S = sY. Po podstawieniu warunków 3–4 do równania (15) otrzymujemy:
(16)
Przyjmujemy, że: oraz
gdzie: y – produkcja na jednostkę efektywnej pracy; k – kapitał na jednostkę efektywnej pracy.
A zatem, równanie (16) możemy zapisań w następującej postaci:
(17)
Wiemy, że zasób kapitału na jednostkę efektywnej pracy wynosi: . A zatem, zasób kapitału wynosi:
(18)
Wszystkie wielkości w równaniu (18) są określone w każdym punkcie czasowym, czyli można wyznaczyć pochodną każdej z tych wielkości względem czasu. Logarytmując obustronnie równanie (18) otrzymujemy:
(19)
Różniczkujemy obustronnie równanie (19) względem czasu (t)[2]:
(20)
gdzie: – stopa postępu technicznego; – stopa wzrostu zasobu kapitału na jednostkę efektywnej pracy; – stopa wzrostu zatrudnienia.
Po przekształceniach równanie (20) będzie postaci:
(21)
Po podstawieniu równania (21) do równania (17) otrzymujemy:
(22)
A stąd, po przekształceniach otrzymujemy najważniejsze równanie w modelu Solowa, czyli równanie So...
chomikSGHowy