Wzory 33.doc

Potęgowy model trendu (t = 1,..., n)

Wykładniczy model trendu (t = 1,..., n)

(1)

(2)

Równanie modelu: wzory (33.1)

Yt = β tα εt

Yt =

Transformacja logarytmiczna równania modelu: wzory (33.2)

ln Yt = ln {β tα εt}

ln Yt = ln [⇔

ln Yt = ln β + ln {tα} + ln εt

ln Yt =  α t + β + εt

ln Yt = α ln t + ln β + ln εt

ln Yt =  α t + β + εt

Oznaczenia: wzory (33.3)

t* = ln t

β* = ln β

Równanie modelu transformowanego logarytmicznie: wzory (33.4)

.

Założenia modelu transformowanego logarytmicznie: wzory (33.5)

 dla t = 1,..., n,

 dla t = 1,..., n,

 dla s … t,

 dla t = 1,..., n,

 dla t = 1,..., n,

 dla s … t.

Warunek minimalizacyjny metody najmniejszych kwadratów: wzory (33.6)

W => min

W => minUkład równań normalnych: wzory (33.7)

Z rozwiązania układu równań normalnych (33.7) otrzymujemy estymator  współczynnika α: wzory (33.8)

Z rozwiązania układu równań normalnych (33.7) otrzymujemy estymator  β wyrazu wolnego ln β: wzory (33.9)

,

Funkcja trendu liniowego: wzory (33.10)

.

Funkcja trendu nieliniowego: wzory (33.11)

.

Realizacja a estymatora  współczynnika α w konkretnej n-elementowej próbie: wzory (33.12)

Realizacja ln b estymatora  β wyrazu wolnego ln β oraz realizacja b estymatora  wyrazu wolnego β w konkretnej n-elementowej próbie: wzory (33.13)

Funkcja trendu liniowego w konkretnej n-elementowej próbie: wzory (33.14)

,

,

Funkcja trendu nieliniowego w konkretnej n-elementowej próbie: wzory (33.15)

Współczynniki determinacji

Współczynnik determinacji  dla transformowanej logarytmicznie, ln Yt, zmiennej zależnej Yt (opisanej modelem potęgowym lub wykładniczym sprowadzonym do modelu liniowego drogą transformacji logarytmicznej): wzory (33.16)

lub