egz_pol_ETI_EiT_2011-12.pdf

(66 KB) Pobierz
Egzaminpołówkowyzprzedmiotów
„Matematykaelementarna”i„AnalizamatematycznaI”
WETI,kierunekEiT,1sem.,r.ak.2011/2012
1. [7 p. ] a) Sprawdzi¢, dla jakich argumentów x istnieje funkcja odwrotna do
f ( x ) = 5 ctg( − 3 x ) − 1
Nast¦pnie wyznaczy¢ f − 1 oraz jej dziedzin¦ i przeciwdziedzin¦.
[2 p. ] b) Uzasadni¢, »e zło»enie funkcji rosn¡cej i funkcji malej¡cej jest funkcj¡ malej¡c¡.
arcctg a n
b n , gdzie
2. [7 p. ] a) Obliczy¢ granic¦ ci¡gu lim
n !1
p n +1
h
i
b n = n 2
2
ln( n 2 + 2) − ln( n 2 − 1)
a n =
p n ,
2
3
( n + 1)!
2 n w postaci rekurencyjnej.
[2 p. ] b) Przedstawi¢ ci¡g o wyrazie ogólnym a n =
3. [7 p. ] Wyznaczy¢ warto±ci parametrów k,m 2 R tak, aby funkcja h ( x )
8
<
4 − x 2
x + 6 − 2 + 4
p
k
dla − 6 ¬ x < − 2
x ( x + 1)
2
h ( x ) =
+ arctg m dla − 2 ¬ x ¬ 0
:
4 arcctg ( + ln x )
dla x > 0
była ci¡gła dla dowolnej liczby rzeczywistej.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [7 p. ] a) Wyznaczy¢ normaln¡ do wykresu funkcji f ( x ) = x ln x w punkcie o rz¦dnej x 0 , b¦d¡cej
rozwi¡zaniem równania log 1 2 (log 2 (ln x )) = − 1.
[2 p. ] b) Wykorzystuj¡c ró»niczk¦ zupełn¡ funkcji obliczy¢ przybli»on¡ warto±¢ e − 0 , 0007 .
1
x + 1
5. [7 p. ] Znale¹¢ asymptoty wykresu funkcji g ( x ) =
x +
arcctg x .
2 + ln x
x 2 oraz przedziały, w których jednocze±nie
6. [7 p. ] a) Wyznaczy¢ ekstrema lokalne funkcji h ( x ) =
funkcja jest rosn¡ca i posiada wykres wypukły w dół.
[2 p. ] b) Korzystaj¡c z definicji wyprowadzi¢ wzór na pochodn¡ funkcji y =
1
sin 3 x .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [ dlach¦tnych ] [5 p. ] Korzystaj¡c ze wzoru Taylora przedstawi¢ wielomian
w ( x ) = 5 x 5 + 4 x 4 + 3 x 3 + 2 x 2 + x
w postaci sumy pot¦g dwumianu x − 1.
941524415.004.png 941524415.005.png 941524415.006.png 941524415.007.png 941524415.001.png 941524415.002.png 941524415.003.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin