EGZAMIN Z MATEMATYKI
dla kandydatów starających się o przyjęcie na I rok studiów 2003/2004 na kierunki techniczne w Politechnice Świętokrzyskiej
Każde zadanie oceniane jest w skali od 0 do 20 punktów.
Czas trwania egzaminu 120 min.
Zadanie 1
Dla jakich wartości parametru m iloczyn dwóch różnych pierwiastków równania (m – 1) x2 – 2mx + m – 2 = 0 jest mniejszy od 2?
Zadanie 2
Rozwiązać nierówność
Zadanie 3
W prostokątnym układzie współrzędnych podać interpretację geometryczną zbiorów A, B
Na osobnych rysunkach zaznaczyć A\B, AB.
Zadanie 4
W podstawę stożka wpisano kwadrat o boku a. Kąt przy wierzchołku osiowego przekroju stożka jest równy b. Znaleźć objętość stożka i objętość kuli opisanej na tym stożku.
Zadanie 5
Współrzędne wektora tworzą ciąg geometryczny, którego suma wynosi 26 a iloraz q = 3. Wyznaczyć wektor i jego długość. Czy wektory są prostopadłe jeśli A = (2, -3, 4), B + (-1, 1, 2)?
dla kandydatów starających się o przyjęcie na I rok studiów dziennych 2003/2004 na Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki w Politechnice Świętokrzyskiej
Każde zadanie oceniane jest w skali od 0 do 10 punktów.
Dane jest wyrażenie: .
a. Znaleźć dla jakich wartości parametru „a” powyższe wyrażenie posiada sens liczbowy.
b. Przekształcić powyższe wyrażenie do prostszej postaci i wyznaczyć jego wartość dla a = 2.
Dane są dwa zbiory:
A = i .
a. Naszkicować wykresy funkcji i występujących w definicji zbioru A i osobno wykres funkcji y = 2x – x2, występującej w definicji zbioru B.
b. Wyznaczyć zbiór A i zbiór B oraz iloczyn zbiorów A i B.
Dany jest ogólny wyraz ciągu
a. Sprawdzić, czy ten ciąg jest rosnący czy malejący.
b. Dla jakich n wyrazy powyższego ciągu spełniają nierówność
Dana jest funkcja
a. Znaleźć dziedzinę tej funkcji i naszkicować jej wykres.
b. Dla jakich x spełniona jest nierówność:
a. Powyższą funkcję f(x) zapisać w postaci: f(x) =
b. Dla jakich x zachodzi:
Zadanie 6
Dany jest ciąg:
a. Dla jakich x jest to ciąg geometryczny zbieżny?
b. Dla jakiej wartości x suma wyrazów tego ciągu wynosi 4?
Zadanie 7
Dane są trzy kolejne wierzchołki równoległoboku: A(1,1), B(5,2), C(4,5).
a. Naszkicować położenie wierzchołków w układzie współrzędnych i znaleźć czwarty wierzchołek równoległoboku.
b. Obliczyć długości przekątnych tego równoległoboku i napisać równanie okręgu o środku w punkcie przecięcia się przekątnych i średnicy równej długości większej przekątnej.
Zadanie 8
Dane są równania dwóch prostych:
a. Dla jakiej wartości k oba równania przedstawiają tę samą prostą?
b. Znaleźć wartość parametru k, dla którego powyższe równania opisują proste równoległe.
Zadanie 9
W trójkąt równoboczny o boku a wpisano trzy jednakowe okręgi styczne do siebie i boków trójkąta.
a. Wykonać szkic trójkąta i wpisanych do niego okręgów. Wyznaczyć promienie tych okręgów.
b. Obliczyć pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki powyższych okręgów.
Zadanie 10
Dane jest równanie paraboli
a. Narysować tę parabolę i wyznaczyć punkty przecięcia się paraboli z osią OX.
b. Obliczyć długość boku trójkąta równobocznego wpisanego w tę parabolę.
a. Zapisać wyrażenie w prostszej postaci.
b. Znaleźć wartość tego wyrażenia dla a = 16b.
a. Daną nierówność doprowadzić do postaci iloczynowej:
b. Znaleźć rozwiązanie tej nierówności.
Dany jest szereg geometryczny: 1 + ctg x + ctg2 x + ..., określony w zbiorze
a. Podać podzbiór zbioru X, w którym ta suma istnieje oraz obliczyć tę sumę.
b. Rozwiązać równanie: .
a. Dla jakich wartości parametru m proste: l1: x + y + m = 0, l2: mx + y – 4 = 0 przecinają się. Znaleźć ten punkt przecięcia.
b. Dla jakiej wartości m punkt przecięcia powyższych prostych leży na prostej x – y + 4 = 0?
a. W prostokątnym układzie współrzędnych Oxy narysować zbiory A i B:
, .
b. Na powyższym rysunku zaznaczyć zbiór
a. Zapisać funkcję f(x) = sin x + cos x w postaci: oraz naszkicować wykres tej funkcji.
b. Na tym samym wykresie naszkicować wykres funkcji g(x) = (x – 1)2 + ...
Automation_Engineering