Pochodne.doc

Pochodne funkcji

1.      Podstawowe pojęcia

1.1.          Iloraz różnicowy

Definicja:

Niech oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu , gdzie . Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie odpowiadającym przyrostowi , gdzie , zmiennej niezależnej nazywamy liczbę

Interpretacja geometryczna: Iloraz różnicowy jest tangensem kąta nachylenia siecznej przechodzącej przez punkty do dodatniej części osi Ox.

1.2.          Pochodna właściwa funkcji

Definicja:

Niech oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczniu O(. Pochodną właściwą funkcji f w punkcie nazywamy graniecę właściwą

Uwaga: Inaczej mówiąc pochodna funkcji f jest granicą ilorazu różnicowego , gdy . Mamy zatem

Do oznaczenia pochodnej punkcji f w punkcie stosowane są także symbole

1.3.          Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych

1.4.          Styczna do wykresu funkcji

Definicja:

Niech oraz niech funkcja ciągła f będzie określona przynajmniej na otoczeniu . Prosta jest styczna do wykreu funkcji f w punkcie , jeżeli jest granicznym położniem siecznych funkcji f przechodzących przez punkt , gdy .

Geometrycznie: Sieczna jest prostą, która w sąsiedztwie punktu styczności „najlepiej” przybliża wykres funkcji. Nie jest prawdą, że każda prosta która ma tylko jeden punkt wspólny z wykresem funkcji jest jego sieczną.

Interpretacja geometryczna pochodnej
Niech oznacza kat między styczną do wykresu funkcji f w punkcie i dodatnią częścią osi Ox. Wtedy

1.5.          Równanie stycznej do wykresu funkcji

Fakt:

Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie ma postać

1.6.          Kąt przecięcia wykresów funkcji

Definicja:

Niech wykres funkcji f i g mają punkt wspólny , przy czym obie funkcje maja pochodne właściwe w punkcie . Kątem przecięcia wykresu funkcji f i g nazywamy kąt ostry między stycznymi do wykresów tych funkcji w punkcie ich przecięcia

1.7.          O mierze kąta miedzy wykresami funkcji

Fakt:

Miarą kąta przecięcia wykresów funkcji f i g wyraża się wzorem

Gdzie jest rzędną punktu przecięcia wykresów. Jeżeli , to przyjmujemy, że .

1.8.          Warunek konieczny istnienia pochodnej właściwej funkcji

Twierdzenie:

Jeżeli funkcja ma pochodną właściwą w punkcie, to jest ciągła w tym punkcie

Uwaga: Implikacja przeciwna nie jest prawdziwa. Np. funkcja jest ciągła w , ale nie istniej

2.      Pochodne jednostronne funkcji

2.1.          Pochodne jednostronne właściwe funkcji

Definicja:

Niech oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu . Pochodną lewostronną właściwą funkcji f w punkcie nazywamy granicę właściwą

Analogicznie definiuje się pochodna prawostronną właściwą funkcji f w punkcie . Pochodną taką oznaczamy przez .

Interpretacja geometryczna pochodnych jednostronnych

Niech oznaczają odpowiednio kąty nachylenia prawej i lewej stycznej wykresu funkcji do dodatniej części osi Ox. Wtedy

2.2.          Warunek konieczny i dostateczny istnienia pochodnej

Twierdzenie:

Funkcja f ma pochodną w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy

Jeżeli pochodne jednostronne są równe, to ich wspólna wartość jest pochodną

2.3.          Pochodna właściwa na zbiorze

Definicja:

Funkcja ma pochodną właściwą na zbiorze wtedy i tylko wtedy, gdy ma pochodną właściwą w każdym punkcie tego zbioru. Funkcję określoną na zbiorze, której wartości w punkcie x tego zbioru są równe nazywamy pochodną funkcji f na zbiorze i oznaczamy przez

Uwaga 1: Pochodną funkcji na przedziale domkniętym nazywamy pochodną właściwą w każdym punkcie przedziału otwartego oraz pochodną lewostronną właściwą w punkcie b i prawostronną właściwą w punkcie a. O funkcji, która ma pochodną właściwą w każdym punkcie zbioru, mowimy, że jest różniczkowalna na nim.

Uwaga 2: Pochodna funkcji na zbiorze nie musi być ciągła, np. funkcja

Ma pochodną na R wyrażoną wzorem

Pochodna ta nie jest ciągła w punkcie 0. Można pokazać, że pochodna funkcji może mieć jedynie ciągłość drugiego rodzaju.

2.4.          Pochodna niewłaściwa funkcji

Definicja:

Niech f będzie funkcją ciągła w punkcie . Funkcja f ma w punkcie pochodną niewłaściwą wtedy i tylko wtedy, gdy

Fakt, że funkcja f ma punkcie pochodną niewłaściwą ∞ lub -∞ zapisujemy w postaci

Uwaga: W podobny sposób definiuje się pochodne niewłaściwe jednostronne. Pochodne te oznacza się tym samym symbolem co pochodne jednostronne właściwe:

3.      Twierdzenia o pochodnej funkcji

3.1.          O działaniach na pochodnej

Twierdzenie:

Jeżeli funkcje f i g mają pochodne właściwe w punkcie , to

a.      

b.      

c.      

d.      

e.      

Uwaga: Powyższe wzory są prawdziwe także dla pochodnych jednostronnych oraz dla pochodnych niewłaściwych (stosujemy wtedy reguły działań z symbolem ∞ i -∞)

3.2.          O pochodnej funkcji złożonej

Twierdzenie:

Jeżeli

a.       Funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie

b.       Funkcja g ma pochodną właściwą w punkcie

To

Uwaga: Prawdziwy jest także analogiczny wzór dla dowolnej liczby składanych funkcji oraz dla pochodnych jednostronnych, a także dla pochodnych niewłaściwych.

3.3.          O pochodnej funkcji odwrotnej

Twierdzenie:

Jeżeli funkcja spełnia następujące warunki

a.       Jest ciągła na otoczeniu

b.       Jest malejąca albo rosnąca na otoczeniu

c.       Ma pochodną właściwą

To

Uwaga 1: Wzór ten jest prawdziwy także dla pochodnych niewłaściwych i dla pochodnych jednostronnych

Uwaga 2: W twierdzeniu o pochodnej funkcji odwrotnej nie można zrezygnować z założeń a. i b. zastępując je tylko różnowartościowością funkcji, gdyż, np. funkcja jest różnowartościowa oraz spełnia warunki . Jednakże funkcja odwrotna do niej nie ma pochodnej w punkcie 0, gdyż jest tam nieciągła

...