zadania - funkcje 2.PDF

(197 KB) Pobierz
Warto±¢bezwzgl¦dna.Funkcjawymierna.
Kursmatematykiworatorium
autoramimateriałóws¡:drBarbaraWolnikiWitoldBołt
31marca2006
Spistre±ci
1Warto±¢bezwzgl¦dna 2
1.1Własno±ciwarto±cibezwzgl¦dnej.................. 2
1.2Równaniazwarto±ci¡bezwzgl¦dn¡................. 3
1.3Nierówno±cizwarto±ci¡bezwzgl¦dn¡. .............. 4
1.4Przekształceniawykresówfunkcjizu»yciemwarto±cibezwzgl¦d-
nej................................... 6
1.5Zadania............................... 7
1.5.1Zadaniaotwarte...................... 7
1.5.2Zadaniatestowe...................... 9
2Funkcjahomograficzna 11
2.1Wykresfunkcjihomograficznej .................. 11
2.2Hiperbolepodstawowe....................... 12
2.3Własno±cifunkcjihomograficznej................. 13
2.4Zadania............................... 14
3Funkcjawymierna 15
3.1Równaniawymierne........................ 16
3.2Nierówno±ciwymierne........................ 17
3.3Zadania............................... 18
3.3.1Zadaniaotwarte...................... 18
3.3.2Zadaniatestowe...................... 20
4Zadaniedomoweiogłoszenia
22
2
1Warto±¢bezwzgl¦dna
Zbiórliczbrzeczywistych(któryoznaczamyprzez R )mo»naprzedstawi¢gra-
ficzniejakozbiórpunktównaosiliczbowej(tzn.naprostej„wyposa»onej”w
zwrot,punktoznaczonyjakozeroijednostk¦).Ka»dejliczbierzeczywistej x
odpowiadanatakiejosidokładniejedenpunkt.
Definicja1.1 (warto±¢bezwzgl¦dna) . Warto±ci¡bezwzgl¦dn¡liczby x na-
zywamyodległo±¢punktuodpowiadaj¡cegotejliczbienaosiliczbowej,od
punktuzeroioznaczamyprzez | x | .
Przykład1.2. Je±lizaznaczymynaosiliczbowejliczb¦4,tołatwozauwa»y-
my,»ejejodległo±¢odzerawynosi4,st¡d | 4 | =4.
Przykład1.3. Je±lizaznaczymynaosiliczbowejliczb¦ − 3,towidzimy,»e
jejodległo±¢odpunktuzerowynosi3,st¡d |− 3 | =3.
Przykład1.4. Podobniemo»emypokaza¢,»enaprzykład: | 5 | =5, |− 7 | =7,
| 0 | =0, | 1 2 | = 1 2 , | − 3 4 | = 3 4 itd.
Widzimywi¦c,»eobliczeniewarto±cibezwzgl¦dnejzliczbyrzeczywistej
jestbardzoproste.Mo»emyprzedstawi¢towformieprzepisu:
• je±liliczba x jestdodatnialubje±lijestzerem,to | x | = x ,
• wprzeciwnymwypadku(je±liliczba x jestujemna),to | x | = − x .
Wtensposóbotrzymali±mywzór,którycz¦stopodajesi¦wr¦czjakodefinicj¦
warto±cibezwzgl¦dnej:
(
x dla x ­ 0
− x dla x< 0 .
| x | =
1.1Własno±ciwarto±cibezwzgl¦dnej.
Poni»szyfaktzbierapodstawowewłasno±ciwarto±cibezwzgl¦dnej.
Fakt1.5. Dladowolnychliczbx,y,z 2 R mamy:
1. |− x | = | x | ,
2. | x |­ 0 ,
3. | x · y | = | x |·| y | ,
 
1.2Równaniazwarto±ci¡bezwzgl¦dn¡.
3
x y
= | x |
4.
| y | ,przyzało»eniuy 6 =0 ,
5. | x − y | = | y − x | ,
6. | x − y |¬| x − z | + | z − y | .
Uwaga1.6. Zauwa»my,»edlasumyiró»nicynaogółnies¡spełnionewła-
sno±cipodobnedotychzpunktu3i4powy»szegofaktu.Naprzykład:
| ( − 3)+4 |6 = |− 3 | + | 4 | ,
| 5 − 10 |6 = | 5 |−| 10 | .
1.2Równaniazwarto±ci¡bezwzgl¦dn¡.
Definicja1.7 (równaniepodstawowezwarto±ci¡bezwzgl¦dn¡) . Równaniem
podstawowymzwarto±ci¡bezwzgl¦dn¡b¦dziemynazywa¢równaniepostaci:
| co± | = a,
gdzie a jestkonkretn¡(ustalon¡)liczb¡rzeczywist¡.
Przykład1.8. Równaniaoktórychmówidefinicjawygl¡daj¡naprzykład
tak: | x | =2, | 3 x − 4 | =8, | x 2 − 4 x +1 | =2, | 3 x − x 2 | =0, | 4 x +1 | = − 3itp.
Prezentowaneturównania,wktórychwyst¦pujewarto±¢bezwzgl¦dna,s¡
bardzoproste.Ztegowzgl¦dunazywamyjepodstawowymi.Wtokupó¹niej-
szychrozwa»a«zajmiemysi¦równie»przypadkamibardziejskomplikowanymi,
gdzienaprzykładniewiadomab¦dziezarównowewn¡trzwarto±cibezwzgl¦d-
nejjakipozani¡,lubtakiegdzieb¦dziewi¦cejniewiadomych.
Poni»szyfaktumo»liwiarozwi¡zywanierówna«podstawowychzwarto±ci¡
bezwzgl¦dn¡.
Fakt1.9. Wzale»no±ciodwarto±ciparametruazachodzijedenzprzypadków.
1.Je±lia< 0 ,torównanie | co± | = aniemarozwi¡zania.
2.Je±lia =0 ,torównanie | co± | = ajestto»samerównaniu:co± = a.
3.Je±lia> 0 ,torównanie | co± | = ajestrównowa»newarunkom:co± =
a _ co± = − a.
Korzystaj¡czpowy»szegofaktu,rozwi¡»emypodanewpoprzednimprzy-
kładzierównaniapodstawowe.Sprawd¹czyrozumieszsk¡dwzi¦łysi¦podane
ni»ejwyniki.
 
4
1.3Nierówno±cizwarto±ci¡bezwzgl¦dn¡.
Przykład1.10. Równanie | x | =2madwarozwi¡zania: x =2 _ x = − 2.
Przykład1.11. Rozwi¡zanierównanie | 3 x − 4 | =8,sprowadzasi¦doroz-
wi¡zaniadwóchrówna«liniowych:3 x − 4=8oraz3 x − 4= − 8.Dajetonam
odpowied¹: x =4 _ x = − 4 3 .
Przykład1.12. Abyrozwi¡za¢równanie: | x 2 − 4 x +1 | =2,musimyrozwi¡za¢
dwarównaniakwadratowe:
x 2 − 4 x +1=2 _ x 2 − 4 x +1= − 2
x 2 − 4 x − 1=0 _ x 2 − 4 x +3=0 .
Wre zu ltacieotrzymujemyczterymo»liwerozwi¡zania: x =2 − p 5 _ x =
2+
p
5 _ x =1 _ x =3.
Przykład1.13. Równanie | 3 x − x 2 | =0sprowadzasi¦do3 x − x 2 =0,co
bardzołatwodajesi¦rozwi¡za¢,bojesttorównanieto»samez: x (3 − x )=0.
Czylimamydwarozwi¡zania x =0 _ x =3.
Przykład1.14. Równanie | 4 x +1 | = − 3zgodniezpodanymfaktemjest
sprzeczne.
1.3Nierówno±cizwarto±ci¡bezwzgl¦dn¡.
Porozwa»aniachdotycz¡cychprostychrówna«zwarto±ci¡bezwzgl¦dn¡,przy-
szedłczasnaprostenierówno±ciwktórychwyst¦pujewarto±¢bezwzgl¦dna.
Definicja1.15 (nierówno±¢podstawowazwarto±ci¡bezwzgl¦dn¡) . Poj¦ciem
nierówno±cipodstawowejzwarto±ci¡bezwzgl¦dn¡,b¦dziemyokre±la¢nierów-
no±cipostaci: | co± | >a , | co± |­ a , | co± | <a lub | co± |¬ a .Zakładamy,»e a jest
dowoln¡,ustalon¡liczb¡rzeczywist¡.
Przykład1.16. Rozwi¡»emyprost¡nierówno±¢ | x | > 2.Je±liprzypomni-
mysobiedefinicj¦warto±cibezwzgl¦dnejpodan¡wtymrozdziale,mo»emy
powiedzie¢,»edananierówno±¢opisujezbiórtakichpunktównaosiliczbo-
wej,którychodległo±¢odzerajestwi¦kszaod2.Aby„zobaczy¢”rozwi¡za-
niewystarczywykona¢prostyrysunek(wykonajgo!)iodczyta¢odpowied¹:
x 2 ( −1 , − 2) [ (2 , 1 ).
Przedstawimyponi»ejfakty,którewła±ciwiebazuj¡narozumowaniuzpo-
wy»szegoprzykładuiumo»liwiaj¡rozwi¡zaniewszystkichnierówno±cipodsta-
wowych.
903915006.001.png
 
1.3Nierówno±cizwarto±ci¡bezwzgl¦dn¡.
5
Fakt1.17. Załó»my,»eajestdowoln¡,ustalon¡liczb¡rzeczywist¡dodatni¡.
Wówczasmamy:
1.Nierówno±¢ | co± | >ajestrównowa»nawarunkom:co±>alubco±< − a.
2.Nierówno±¢ | co± |­ ajestrównowa»nawarunkom:co± ­ alubco± ¬− a.
3.Nierówno±¢ | co± | <ajestrównowa»nawarunkom: − a<co±<a.
4.Nierówno±¢ | co± |¬ ajestrównowa»nawarunkom: − a ¬ co± ¬ a.
Fakt1.18. Załó»my,»eajestdowoln¡,ustalon¡liczb¡rzeczywist¡ujemn¡.
Wówczasmamy:
1.Nierówno±¢ | co± | >ajestrównowa»nazapisowi:co± 2 R .
2.Nierówno±¢ | co± |­ ajestrównowa»nazapisowi:co± 2 R .
3.Nierówno±¢ | co± | <ajestsprzeczna.
4.Nierówno±¢ | co± |¬ ajestsprzeczna.
Fakt1.19. Załó»my,»ea =0 .Wówczasmamy:
1.Nierówno±¢ | co± | >ajestrównowa»nazapisowi:co± 6 =0 .
2.Nierówno±¢ | co± |­ ajestrównowa»nazapisowi:co± 2 R .
3.Nierówno±¢ | co± | <ajestsprzeczna.
4.Nierówno±¢ | co± |¬ ajestrównowa»nazapisowi:co± =0 .
Problem 1.1 . Podajinterpretacj¦geometryczn¡ka»degozprzypadkówpowy»-
szychfaktów.
Korzystaj¡czpodanychfaktów,poka»emyterazjakrozwi¡za¢prostenie-
równo±cizwarto±ci¡bezwzgl¦dn¡.
Przykład1.20. Rozwa»mynierówno±¢: | 4 x − 3 | > 1,Jestonarównowa»na
warunkom:
4 x − 3 < − 1 _ 4 x − 3 > 1 .
St¡dmamy:
x< 1
2 _ x> 1 .
Czylirozwi¡zaniemnierówno±cijest: x 2 ( −1 , 1 2 ) [ (1 , 1 ).
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin