10. calka_nieoz TEORIA.pdf

(107 KB) Pobierz
1
Całkanieoznaczona
Zało»my, »e funkcja f jest funkcj¡ rzeczywist¡ okre±lon¡
Definicja
na pewnym przedziale. Ka»d¡ funkcj¦ F , która spełnia w tym
przedziale warunek
F 0 ( x )
= f ( x ) ,
nazywamy funkcj¡pierwotn¡ do funkcji f .
Przykład
Wyznacz funkcj¦ pierwotn¡ do funkcji
f ( x ) = cos x.
Ile ró»nych funkcji pierwotnych do funkcji f potrafisz wskaza¢?
2
Fakt
Je»eli F jest funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f w pewnym przedziale,
to dla dowolnej stałej C 2 R funkcja F + C jest funkcj¡
pierwotn¡ funkcji f .
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f , okre±lonej w
= F + C , gdzie
pewnym przedziale, jest zło»ony z funkcji
C 2 R a F jest jak¡kolwiek funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f .
922221900.001.png
3
Definicja (Całkinieoznaczonej)
Je»eli F jest funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f w pewnym przedziale, to
zbiór wszystkich funkcji pierotnych nazywamy całk¡nieoznaczon¡
funkcji f i oznaczamy symbolem
Z
f ( x ) dx.
Zatem
Z
f ( x ) dx = F ( x ) + C ,
gdzie C 2 R a F jest jak¡kolwiek funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f .
Funkcj¦ f nazywamy funkcj¡podcałkow¡ , a f ( x ) dx wyra»eniem
podcałkowym .
Twierdzenie
Ka»da funkcja ci¡gła w pewnym przedziałe jest
całkowalna w tym przedziale (istnieje całka nieoznaczona tej funkcji).
 
4
Własno±ciCałkinieoznaczonej
Załó»my, »e funkcje f i g s¡ ci¡głe w pewnym przedziale.
Wówczas
0
0
@
1
A
Z
f ( x ) dx
= f ( x ) ,
f 0 ( x ) dx = f ( x ) + C ,
Z
Z
a · f ( x ) dx = a · Z f ( x ) dx ,
a 2 R ,
!
Z
Z
Z
f ( x ) + g ( x )
dx =
f ( x ) dx +
g ( x ) dx.
5
Całkinieoznaczonepodstawowychfunkcjielementarnych
Z
0 dx = C
Z
a dx = ax + C
x dx = x +1
Z
+ 1 + C
6 = − 1
Z 1
x dx = ln | x | + C
e x dx = e x + C
Z
a x
a x dx =
Z
ln a + C
922221900.002.png 922221900.003.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin