09. pocodna log TEORIA.pdf

(109 KB) Pobierz
1
Pochodnalogarytmiczna
Wzór
( ln f ( x ) ) 0 = f 0 ( x )
f ( x )
nosi nazw¦ pochodnejlogarytmicznej .
Przykład
Oblicz, u»ywaj¡c pochodnej logarytmicznej, pochodne
nast¦puj¡cych funkcji:
f ( x ) = u ( x ) v ( x )
v u u u u t x 3 · sin 2 x
3
f ( x ) =
p
x 2 +1
922221898.001.png
 
2
Ró»niczkafunkcji
Niech funkcja f ma pochodn¡ wła±ciw¡ w punkcie
Definicja
x 0
. Ró»niczk¡ funkcji f w punkcie x 0
nazywamy funkcj¦ df
zmiennej x = x − x 0
okre±lon¡ wzorem
df de = f 0 ( x 0 ) x.
Je»eli funkcja f ma pochodn¡ wła±ciw¡ w punkcie x 0
Uwaga
,
to
f ( x 0 + x ) f ( x 0 ) + f 0 ( x 0 ) x.
Przykład
Korzystaj¡c z ró»niczki oblicz przybli»on¡ warto±¢ wyra»enia:
p 102 , 1 · log 10 , 21 .
 
3
Definicja (Ró»niczkiwy»szychrz¦dów)
Je»eli funkcja f ma pochodn¡ rz¦du n − 1
w otoczeniu punktu
x 0
oraz pochodn¡ rz¦du n w punkcie x 0 , to
d n f de =
0
1
@ d [ d n − 1 f ( x ) ]
x = x 0 .
A
przy czym w ka»dym ró»niczkowaniu bierzemy ten sam przyrost
x .
St¡d
d n f = f ( n ) ( x 0 ) x n .
4
WzórTaylora
Je»eli funkcja f ma ci¡głe pochodne do rz¦du n
Twierdzenie
[ a,b ]
wł¡cznie w przedziale
oraz ma sko«czon¡ pochodn¡ rz¦du
n + 1
( a,b ) , to dla ka»dych dwóch ró»nych punktów
w przedziale
x 0 ,x 2 [ a,b ] istnieje co najmniej jeden punkt c 2 ( x 0 ,x ) taki, »e
f ( x ) = f ( x 0 ) + f 0 ( x 0 )
( x − x 0 ) + f 00 ( x 0 )
( x − x 0 ) 2
+ ...
1!
2!
... + f ( n ) ( x 0 )
( x − x 0 ) n + f ( n +1) ( c )
( x − x 0 ) n +1 ,
n !
( n + 1)!
gdzie c = x 0 + ( x − x 0 ) , 0 < < 1 .
 
5
Uwaga
Wyra»enie
T n ( x ) = f ( x 0 ) + f 0 ( x 0 )
( x − x 0 ) + f 00 ( x 0 )
( x − x 0 ) 2
+ ...
1!
2!
... + f ( n ) ( x 0 )
f ( k ) ( x 0 )
k !
n X
( x − x 0 ) n =
( x − x 0 ) k
n !
k =0
nazywamy wielomianemTaylorarz¦du n .
Wyra»enie
R n ( x ) = f ( n +1) ( c )
( x − x 0 ) n +1
( n + 1)!
nazywamy reszt¡Taylorarz¦du n wpostaciLagrange’a .
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin