KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW.pdf

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW: to grupa twierdzeń pozwalających ustalić,

czy dany szereg jest zbieżny, czy nie.

Niech dany będzie szereg ∑an o wyrazach rzeczywistych lub zespolonych.

WARUNEK KONIECZNY ZBIEŻNOŚCI: Jeśli wyraz ogólny szeregu ∑an nie zbiega do 0,

to szereg ten jest rozbieżny. Jeśli limn→∞ an = 0 to warunek konieczny nie rozstrzyga,

czy szereg jest zbieżny czy nie i trzeba użyć innego kryterium.

WARUNEK CAUCHY’EGO ZBIEŻNOŚCI: Dla szeregów liczbowych zachodzi następujący

warunek zbieżności, pochodzący od Cauchy'ego: Szereg liczbowy ∑an jest zbieżny wtedy

i tylko wtedy, gdy:

Jest to równoważne temu, że ciąg

sum częściowych ciągu (an) jest ciągiem Cauchy'ego.

ZBIEŻNOŚĆ BEZWZGLĘDNA: Szereg ∑an nazywamy zbieżnym bezwzględnie, jeżeli zbieżny jest szereg

∑|an|. Jeżeli dany szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jest on zbieżny również w zwykłym sensie.

KRYTERIUM D’ALEMBERTA:

KRYTERIUM RAABEGO:

szereg ∑an jest zbieżny

szereg ∑an jest rozbieżny

kryterium nie rozstrzyga

KRYTERIUM CAUCHY’EGO: Jeżeli granica ciągu

istnieje i jest mniejsza od 1, to szereg

jest zbieżny; jeżeli granica ta jest większa od 1, szereg jest rozbieżny.

KRYTERIUM CAŁKOWE : Szereg o wyrazie ogólnym an = f(n) jest zbieżny, jeżeli f(x) jest funkcją

monotonicznie malejącą i całka niewłaściwa jest zbieżna; natomiast jeżeli całka ta jest

rozbieżna, to szereg o wyrazie ogólnym f(n) jest rozbieżny. Przy tym dolną granicę całkowania a

należy tak obrać, żeby funkcja f(x) w przedziale

była oznaczona i nie miała punktów

nieciągłości.

KRYTERIUM ILORAZOWE (NAZYWANE TEŻ KRYTERIUM PORÓWNAWCZYM W POSTACI

GRANICZNEJ): Jeżeli mamy szeregi ∑an, ∑bn i znamy typ (rozbieżny, zbieżny) jednego z nich,

oraz 0 < lim n→∞ (an/bn) < ∞, to drugi z nich jest tego samego typu.

Ponadto:

Jeżeli lim n→∞ (an/bn) = 0 i ∑bn jest zbieżny, to ∑an jest zbieżny.

Jeżeli lim n→∞ (an/bn) = ∞ i ∑an jest zbieżny, to ∑bn jest zbieżny.