Wyklad04.pdf
(
83 KB
)
Pobierz
UDA-PO KL.04.01.01-00-082
/
08-00 Pomorski Port Edukacji i Praktyki - Program Rozwoju Wy»-
szej Szkoły Bankowej w Gda«sku
Wykład 4
WEKTOR LOSOWY
Niech
X
i
Y
b¦d¡ zmiennymi losowymi. Par¦ (
X,Y
) nazywamy
wektorem losowym
dwuwymia-
rowym.
Mówimy, »e wektor jest
typu dyskretnego
, je»eli zmienne
X
i
Y
s¡ typu dyskretnego.
Definicja.
Je»eli zmienna losowa
X
przyjmuje warto±ci ze zbioru
{
x
1
,x
2
,x
3
,...
}
, a zmienna
losowa
Y
przyjmuje warto±ci ze zbioru
{
y
1
,y
2
,y
3
,...
}
, to przez
p
kl
oznaczamy prawdopodobie«-
stwo:
p
kl
=
P
(
X
=
x
k
,Y
=
y
l
)
.
Zbiór
{
(
x
k
,y
l
,p
kl
)
}
nazywamy rozkładem wektora (
X,Y
).
Rozkład wektora dwuwymiarowego mo»na poda¢ w tabeli.
Przykład 1.
Wektor losowy (
X,Y
) ma rozkład zadany w tabeli.
Y
\
X
−
1
0
1
P
(
Y
=
y
)
-1
0
,
2
0
0
,
2
0
0
0
,
2
0
1
0
,
2
0
0
,
2
P(X=x)
Z tabeli odczytujemy na przykład, »e prawopodobie«stwo zdarzenia w którym jednocze±nie
X
i
Y
przyjmuj¡ warto±ci -1 wynosi:
P
(
X
=
−
1
,Y
=
−
1) = 0
,
2.
Maj¡c dany rozkład wektora mo»emy wyznaczy¢ rozkłady zmiennych
X
i
Y
, czyli tak zwane
rozkłady brzegowe:
P
(
X
=
x
0
) =
P
(
X
=
x
0
,Y
=
y
1
) +
P
(
X
=
x
0
,Y
=
y
2
) +
P
(
X
=
x
0
,Y
=
y
3
) +
...,
P
(
Y
=
y
0
) =
P
(
X
=
x
1
,Y
=
y
0
) +
P
(
X
=
x
2
,Y
=
y
0
) +
P
(
X
=
x
3
,Y
=
y
0
) +
....
Uwaga.
Oznacza to, »e nale»y zsumowa¢ odpowiednie prawdopodobie«stwa w kolumnach oraz w
wierszach tabeli. Rozkłady brzegowe zwykło zapisywa¢ si¦ na ”brzegach” tabeli.
Powstaje pytanie, czy maj¡c rozkłady zmiennych
X
i
Y
mo»na wyznaczy¢ rozkład wektora (
X,Y
).
Niestety w ogólnym przypadku – nie. Mo»emy to zrobi¢, gdy zmienne
X
i
Y
s¡ niezale»ne.
Definicja.
Dyskretne zmienne losowe
X
i
Y
s¡ niezale»ne, je»eli:
P
(
X
=
x,Y
=
y
) =
P
(
X
=
x
)
·
P
(
Y
=
y
)
dla ka»dego
x
i
y
.
Przykład 2.
Zmienne losowe
X
i
Y
z Przykładu 1. s¡ zale»ne, poniewa»:
P
(
X
=
−
1
,Y
=
−
1) = 0
,
2
, P
(
X
=
−
1)
·
P
(
Y
=
−
1) = 0
,
4
·
0
,
4 = 0
,
8
,
a zatem
P
(
X
=
−
1
,Y
=
−
1)
6
=
P
(
X
=
−
1)
·
P
(
Y
=
−
1).
Przykład 3.
W tabeli podany jest rozkład wektora (
X,Y
). Uzasadnij, »e zmienne losowe
X
i
Y
s¡ niezale»ne.
Y
\
X
1
0
P
(
Y
=
y
)
1
12
1
6
1
4
1
1
4
1
2
3
4
2
1
3
2
3
P(X=x)
Cz¦sto, w praktyce bada si¦ czy istnieje zale»no±¢ liniowa mi¦dzy zmiennymi
X
i
Y
, to znaczy, czy
istniej¡ liczby
a
i
b
takie, »e
Y
=
aX
+
b
(z pewnym prawdopodobie«stwem).
Sił¦ zale»no±ci liniowej mierzy współczynnik korelacj Pearsona:
=
E
(
XY
)
−
EX
·
EY
p
p
V arY
.
V arX
·
redni¡ iloczynu zmiennych
X
i
Y
wyliczamy ze wzoru:
X
E
(
XY
) =
x
k
·
y
l
·
P
(
X
=
x
k
,Y
=
y
l
)
.
k,l
Współczynnik
przyjmuje warto±ci z przedziału
h−
1
,
1
i
. Je»eli
>
0, mówimy »e zmienne s¡
skorelowane dodatnio, je»eli
<
0 – skorelowane ujemnie. W przypadku, gdy
= 0, mówimy, »e
zmienne s¡ nieskorelowane.
Przykład 4.
Oblicz współczynnik korelacji dla zmiennych
X
i
Y
z Przykładu 1.
Zmienne losowe
X
i
Y
maj¡ taki sam rozkład. Mamy:
EX
=
EY
= 0,
E
(
X
2
) =
E
(
Y
2
) = 0
,
8,
V arX
=
V arY
= 0
,
8,
E
(
XY
) = 0. St¡d
= 0.
Zatem zmienne s¡ nieskorelowane i zale»ne.
Uwaga.
Mo»na wykaza¢, »e je»eli zmienne losowe
X
i
Y
s¡ niezale»ne, to
E
(
XY
) =
EX
·
EY
, a
st¡d wynika, »e współczynnik korelacji jest równy zero – czyli zmienne s¡ nieskorelowane.
Natomiat, jak pokazuje powy»szy przykład, je»eli zmienne s¡ nieskorelowane, to nie oznacza to, »e
s¡ niezale»ne.
Plik z chomika:
kina_tczew
Inne pliki z tego folderu:
egzamin prawdopodobienstwo.pdf
(70 KB)
Wyklad04.pdf
(83 KB)
Wyklad03.pdf
(140 KB)
Wyklad02.pdf
(132 KB)
Wyklad1B.pdf
(94 KB)
Inne foldery tego chomika:
ANGIELSKI
Ekonometria
ELEMENTY PRAWA
Filozofia
HISZPAŃSKI
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin