całka-oznaczona.pdf

Rozdziat 9

Catka oznaczona

§ 33. Definicja calki oznaczonej

Rozwazamy funkcj?/w przedziale domkni^tym < a ; b>. Tej funkcji i temu

przedzialowi przyporza^dkujemy liczb? zwana^ calka. oznaczona^ funkcji /

w przedziale < a ; b>. Calk? t? oznaczamy symbolem

ktory czytamy: calka od a do b zf(x) po dx.

Podzial przedziaiu < a ; b>

Dla kazdej liczby naturalnej n wybieramy punkty a 0 , a\,...,a n takie, ze

a = a 0 < a l < a 2 <...<a n = b

Punkty te wyznaczaja_ podzial przedziaiu < a ; b> na n przedzialow

(1)

o dtugosciach

ai-a 0 ,a 2 -a l ,...,a n -a n _ {

Podzial przedziaiu < a ; b> na n przedzialow oznaczamy P n , wi?c

P n = {<a 0 ;a l >,<a l ;a 2 >,...,<a n _ l ;a n >}

zas dhigosc najdhizszego z przedzialow (1) oznaczamy A n i nazywamy

srednicqpodzialu P n

Rozdzial 9. Calka oznaczona

Suma catkowa

Wybieramy n dowolnych argumentow funkcji/

x\, x 2 ,...,x n

(2)

po jednym z kazdego przedziahi (1)

x k &<a k _ l ;a k >

dla£=l,2, ... , n

i obliczamy wartosci funkcji/dla tych argumentow

Tworzymy sum?

zwana^ sumq caikowq funkcji/w przedziale < a ; b> odpowiadajq.ca_ po-

dzialowi P n i wyborowi argumentow (2).

Interpretacja sumy calkowej

Jesli funkcja/jest dodatnia w przedziale

< a ; b>, to skladnik f(x k )(a k -a t _!)sumy calkowej jest polem

prostokaja o podstawie < a k _ } ;a k > i wysokosci f(x k ), zas suma cal-

kowa jest suma^pol takich prostokatow.

X 2 a 2 x 3 a 3 x 4 b

Rysunek 1

Suma calkowa dla n = 4

250

§ 33. Definicja calki oznaczonej

Normality ciqg podzia!6w

Jezeli kazdej liczbie naturalnej n przyporzajikujemy podzial przedziahi

< a ; b> na n cz?sci, to zostaje okreslony ciqg (P n ) podzialow przedzialu

<a;b> (ciaj* ten nie jest ciajiem lic'zbowym). Ciaj* ( P n ) podziatow prze-

dziahi < a ; b> nazywamy normalnym ciqgiem podzialow, jesli ciaj» ( A, „ )

srednic podzialow da^zy do zera

Calka oznaczona

Jesli dla kazdego normalnego ciaju ( P n ) podzialow przedziahi < a ; b>

i dowolnego wyboru argumentow ciaj sum czeiciowych (S M )jest zbiezny

stale do tej samej granicy, to granic? t? nazywamy calkq oznaczonqfunkcji

fw przedziale < a ; b> i oznaczamy

(x)dx

(3)

zatem

\f(x)dx=

lim

«-»<*

A,,->0

"-*" 0 *=1

Funkcj?/ dla ktorej istnieje catka oznaczona (3) nazywamy funkcjq calko-

walnq w przedziale < a ; b>, liczb? a nazywamy dolnq granicq calkowania,

natomiast liczb? b gornq granicq calkowania.

Interpretacja geometryczna calki oznaczonej

Jesli funkcja/ jest dodatnia w przedziale < a ; b>, to calka oznaczona (3) jest

rowna polu figury ograniczonej wykresem funkcji/ osia. Ox i prostymi

x = a, x = b.

251

Rozdzial 9. Caika oznaczona

Rysunek 2

§ 34. Warunki dostateczne calkowalnosci funkcji

Twierdzenie 1

Jesli funkcja fjest ciqgla w przedziale < a ; b>, to jest w tym przedziale

calkowalna.

Twierdzenie 2

Jesli funkcje f i g rozniq si% w skonczenie wielu punktach nalezqcych do

przedzialu < a ; b> ijedna z nichjest calkowalna w tym przedziale, to dru-

ga takzejest calkowalna i calki ich w przedziale < a ; b> sq sobie rowne.

Twierdzenie 3

Jesli funkcja fjest calkowalna w przedziale < a ; b>, to jest takze calko-

walna w kazdym przedziale < c ; d> zawartym w tym przedziale.

Twierdzenie 4

Jesli funkcja fjest nieciqgla tylko w skonczenie wielu punktach nalezqcych

do przedzialu < a; b>, to jest w tym przedziale calkowalna.

Funkcje nieciajle moga^ wi?c bye funkcjami calkowalnymi. Jednak nie kazda

funkcja nieciqgla jest calkowalna. Swiadczy o tym ponizszy przyklad.

252

§ 35. Obliczanie calki oznaczonej za pomocq funkcji pierwotnej

Przyklad 1

Funkcja

Jl gdyx jestliczba. wymierna.

/ (x) = <

(Funkcja Dincmeta)

[0 gdy x jestliczba^ niewymierna^

nie jest calkowalna w zadnym przedziale < a ; b>, bowiem przyjmuja_c, ze

argumenty (2) sajiczbami wymieraymi, otrzymujemy

k=\ a n -a 0 =b-a

lim S n =b - a

dlugosc przedzialu calkowania

n— »oo

natomiast przyjmuja_c, ze argumenty (2) sa^ liczbami niewymiernymi otrzy-

mujemy

-«t-i) = °

£=1

A=l

lim S n = 0

Zatem, dla dwu roznych wyborow argumentow (2) otrzymalismy rozne

granice ci^gow sum calkowych, a to oznacza, ze funkcja/nie jest calko-

walna w przedziale < a ; b>.

§ 35. Obliczanie calki oznaczonej za pomoca

funkcji pierwotnej

Twierdzenie 5

Jesli fjest funkcjq ciqgiq w przedziale < a ; b>, zas Fjest dowolnqfunkcjq

pierwotnq funkcji fw tym przedziale, to

253

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: