szeregi-liczbowe.pdf

Rozdziai 2

Szeregi liczbowe

§ 7. Zbieznosc szeregu

Poj^cie szeregu liczbowego

Dany jest ciqg liczbowy (a n ). Jesli kazdej liczbie naturalnej « przypo-

rz^dkujemy n-tn sum? s n tego ciqgu, to otrzymany ciaj> (s n ) nazywamy

ciqgiem sum czqsciowych lub szeregiem

liczbowym o wyrazach

a\,a 2 ,a^,... (krotko szeregiem) i oznaczamy

Zbieznos^ szeregu

Mowimy, ze szereg /#„ jest szeregiem zbieznym, jezeli ciaj* sum cz?-

«=i

sciowych (s n ) jest zbiezny. W przeciwnym przypadku mowimy, ze jest

szeregiem rozbieznym. Granic^ lims n =s nazywamy sumq szeregu

i oznaczamy

a 1 +a 2 + fl 3+--- lub /^n

n=\i

«! +a 2 +a 3 +...= 5, lub

Symbole a, +a 2 +aj +... i / a n maja^ wi?c dwojakie znaczenie. Ozna-

§ 7. Zbieznosc szeregu

czaja^ szereg, a w przypadku szeregu zbieznego, takze jego sum?. Ten du-

alizm nie prowadzi do nieporozumieri, bowiem z kontekstu wynika,

w ktorym znaczeniu zostaty uzyte.

Interpretacja sumy szeregu.

Suma cz^sciowa s n jest dla kazdego n suma^ skoriczenie wielu liczb. Poj?-

cie sumy szeregu jest uogolnieniem dodawania liczb na przypadek, gdy

sktadnikow jest nieskonczenie wiele. Dla duzych n suma cz^sciowa malo

rozni si§ od sumy szeregu s .

Przyklad 1

Dany jest szereg

222

szereg - + — + — +...

Suma cz^sciowa

222

S_ = — H -- H --- H...+ -

3 3 2

3 3

2 1

jest suma^ cz^sciowa^ ci^gu geometrycznego, w ktorym a = — , q = — . Na

podstawie wzoru (5) § 6.

i-fi

Granica ciaju sum cze_sciowych

s = lim s = lim

V^ 2

Dany szereg jest zbiezny i jego suma jest rowna 1, czyli > — = 1

n=\1

Rozdzial 2. Szeregi liczbowe

Przyklad 2

Danyjest szereg

- 1), czyli szereg 1 + 3 + 5 +...

Suma cz^sciowa

s n = 1 + 3 + 5 + . ..+ (2«-l)

jest sumq. cze_sciowa^ cia^gu arytmetycznego, w ktorym a = 1 , r = 2 . Na pod-

stawie wzoru nr (4) § 6.

Granica ci^gu sum cz^sciowych

lim^ =lim« 2 =+<» ,

•

czyli szereg /_](2n - l) jest rozbiezny.

n=l

Przyklad 3

Danyjest szereg

^(- l)"~' , czyli szereg 1-1 + 1-1 +...

n=\g jest rozbiezny, poniewaz cia^g sum cz^sciowych («„)= (1,0,1,0,...)

jest rozbiezny.

Przyklad 4

Danyjest szereg

—,

r, czyli szereg

K..

. n(n + 1)

1-2

2-3 3-4

n=l

§ 7. Zbieznosc szeregu

Suma cz^sciowa

O (\ (i i

2) ^2 3) (.3 4)

U n + l)

n + l

(patrz przyklad 50 § 6)

Granica ci^gu sum cz^sciowych

s = lim 5 = lim 1

= 1

n + U

Dany szereg jest zbiezny i jego suma jest rowna 1, czyli / ^—

\=1

Warunek konieczny zbieznosci szeregu

Twierdzenie 1

Jezeli szereg /«„ jest zbiezny, to lima n =0.

Uwaga

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe (patrz przykiad 8). Oznacza to, ze

z faktu, iz lima n =0 nie mozna wnioskowac, czy szeregjest zbiezny, czy

rozbiezny. Natomiast, jezeli \ima n ^0 lub lima n nie istnieje, to szereg

jest rozbiezny.

Przykiad 5

Dany jest szereg

Z 2n-l

135

, czyli szereg

K..

lOw

10 20

n=l

Poniewaz lima n =lim

= lim

— = — ^0, wiec dany szereg jest

10«

rozbiezny.

Rozdzial 2. Szeregi liczbowe

Szereg geometryczny

Szereg geometryczny jest to szereg a + aq + aq 2 + aq +..., czyli szereg

aq "~ l , gdzie q = const.

H=l

Zauwazmy, ze wyrazy szeregu geometrycznego tworza^ ciqg geometryczny.

Twierdzenie 2

Szereg geometryczny, w ktorym a*Q jest zbiezny wtedy i tylko wtedy, gdy

q < 1. Jesli <7 = 0, to szereg jest zbiezny i ma sum% rownq zero.

Suma szeregu geometrycznego zbieznego s jest rowna - — .

\-q

Przykiad 6

333

flY~'

a) Szereg 3n

\- — -\, czyli szereg T^3- —

jest szeregiem

248

n=1

^2^

geometrycznym, w ktorym a = 3 i q = —. Poniewaz q < 1 szereg jest

zbiezny i jego suma jest rowna s =

= 6 czyli

1-1

«=i

J",f

b) Szereg 1

-+..., czyli szereg Vj

jest szeregiem

«=i ^

geometrycznym, w ktorym a = 1 i g = — . Poniewaz q\ 1, wi^c sze-

reg jest zbiezny i jego suma jest rowna

i_2 ..yV ly 1 2

i ill 3 3

frv 2 J 3

.? =

= — = — , czyli >

= — .

i ^^^' 1 /'iV i ^3^^

J"i i ^ 7^"~'

c) Szereg

— +— —

—

+..., czyli szereg 7 —

5 5(2)

5(2

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: