Część I
PRZEPISZ STARANNIE – ZWRACA NA TO UWAGE, PRZEPISZ TAK ŻEBY PRACA NIE BYŁA PODOBNA – INNI MOGĄ MIEC TAKIE SAME I CO WTEDY?
Zadanie 1 – wyprowadzenie równań równowagi płynu.
Rozważamy dowolną przestrzeń wypełnioną płynem idealnym
- wnętrze obszaru
- powierzchnia ograniczająca obszar
ds – elementarny wycinek powierzchni dV – elementarny wycinek wnętrza obszaru
ΔFp – jednostkowa siła powierzchniowa
ΔFv – jednostkowa siła objętościowa
- wektor normalny do wycinka ds.
- gęstość sił objętościowych
- gęstość sił powierzchniowych
Siły powierzchniowe zależą od usytuowania rozpatrywanej powierzchni, nie są zatem wielkością stałą i niezależną. Niezależnie od doboru powierzchni opisywał będzie stan cieczy tensor napręzeń– charakteryzujący naprężenia w danym punkcie. Na jego wartości nie ma wpływu sposób doboru powierzchni.
- tensor naprężeń
Ze względu na równości odpowiednich naprężeń stycznych, macierz ta jest macierzą symetryczną, czyli: , ponieważ .
Rysunki przedstawiają elementarny wycinek obszaru Ω- czyli d Ω, oraz jego naprężenia i współrzędne wektora
Są to makroskopowe ujęcia punktu obszaru. Można spostrzec ze na jego powierzchnię działają siły powierzchniowe zależne od doboru powierzchni. Ściana powierzchni opisywana jest przez wektor
Ogólny stan naprężenia w danym punkcie przedstawia tensor naprężeń σ Siła powierzchniowa będzie zatem równa:
- jest to wektor [N/m] = [Pa]
(R3) (R3x3) (R3)
Znalezienie siły wypadkowej wymaga scałkowania po powierzchni:
; [N]
Analizując budowę tensora σ zauważymy, że:
Tensor σ tensor kulisty tensor dewiatorowi - σD
Gdzie: ; oraz - ślad macierzy σ
Tensor kulisty to
Czyli ostatecznie:
Tensor kulisty odpowiedzialny jest za opis matematyczny wszechstronnego ściskania/rozciągania. Dewiator jest wyrażeniem związanym ze zmianą postaci ciala – ścinaniem. Ponieważ przy rozpatrywaniu płynu nie możemy mowić o rozciąganiu, a σ0 ma kierunek naprężeń rozciągających, to ma on zawsze wartość ujemna. Wartość tę nazywamy ciśnieniem.
; ;
Po uwzględnieniu założenia, że siła powierzchniowa w każdym kierunku jest jednakowa i skierowana prostopadle do powierzchni, to dla danej chwili:
Jest to całka wektoru
Rozważając kolejno siły objętościowe:
[N/m3] - gęstość siły objętościowej.
Są to siły wewnętrzne, wzajemne. Obliczamy ich wypadkową dla danej chwili:
Siła wypadkowa w całym obszarze to :
Na mocy Twierdzenia Gaussa-Ostrogradskij-ego możemy zastąpić całkę powierzchniową całka objętosciową w poniższy sposób:
Aby zachowana była równowaga to: dla każdego obszaru Ω czyli:
Musi tak być dla każdego obszaru Ω à0 (ponieważ równie dobrze wymagać można zachowania równowagi i tego obszaru). Zależność = 0 nazywamy równaniem równowagi ośrodka ciągłego, lub równaniem Eulera. Obowiązuje ono dla płynu nielekkiego.
, a wtedy:
Możemy zatem napisać równanie równowagi dla płynu:
Ponieważ:, oraz to ostatecznie:
Dla zachowania pełnej równowagi spełnione musi być też równanie momentów.
Po przekształceniach analogicznych do tych z warunku na równowagę sił, możemy zauważyć że jeżeli siłą wypadkowa będzie równa zeru, to niezależnie od tego na jakim ramieniu będzie działała, również da moment równy zeru. A zatem warunkiem wystarczającym do spełnienia aby ośrodek był w równowadze, jest zależność:
Jest to warunek równowagi płynu doskonałego.
Zadanie 2 – cysterna
L=
9,2
[m]
D=
2,2
d=
1
ρmleka=
1300
[kg/m3]
a=
0,3
g
Współrzędne klapy:
g=
9,81
[ms2]
Xk=
4,6
klapa dolna
Pa=
101325
[Pa]
Yk=
0
Znajduję siły objętościowe działające na ciecz w poruszającej się cysternie:
Siła ciężkości: fg =ρ g
Sila bezwładności fb = - ρ a ( skierowane przeciwnie do przyspieszenia cysterny – czyli zgodnie z kierunkiem osi x )
[N/m3] - jest to wektor wypadkowy sił objętościowych, obliczam jego...
moloniewicz