1.PRAWO HOOKE’A. W wyniku obserwacji rozciąganych prętów pryzmatycznych wykonanych z różnych materiałów Hooke stwierdził, że wydłużenie ∆l pręta pryzmatycznego jest wprost proporcjonalne do siły rozciągania P i do długości początkowej l pręta, a odwrotnie proporcjonalne do pola F przekroju poprzecznego pręta (2.1). ∆l = Pl / EF.
E-moduł sprężystości przy rozciąganiu (moduł Younga) a) wydłużenie, jakie doznaje jednostka długości pręta. Oznaczamy je ε i nazywamy wydłużeniem względnym: ε = ∆ l / l. Naprężenie rozciągające w pręcie wynosi σ = P / F, zatem prawo Hooka wyrażone wzorem ∆l = Pl / EF można przedstawić w postaci: σ = ε E np. dla stali wynosi E = 2,1 * 10 5 Mpa.
2.WYKRES ROZCIĄGANIA STALI NISKOWĘGLOWYCH. W początkowym okresie rozciągania, wydłużenia względne ε są proporcjonalne do naprężeń σ i na wykresie rozciągania otrzymujemy prostą 0A. Umowna granica sprężystości σ spreż. (odpowiadająca pkt. B na wykresie) jest max. Naprężenie, które powoduje, że po usunięciu siły rozciągającej pozostałe wydłużenie względne, będzie wynosiło 0,001 %.Pkt. A określany granicą proporcjonalności σ prop. (granica stosowalności prawa Hooke’a) leży w pobliżu pkt.B: σ sprez. = σ prop. Jeżeli naprężenie rozciągające próbkę przekroczy granice spręży., to wydłużenia względne ε nie będą już wzrastać liniowo (odcinek BC). Stale nisko węglowe mają własność, że po osiągnięciu pkt.C następuje przyrost odkształceń plastycznych (linia pozioma CD), a odpowiadające temu naprężenia zwane są granicą plastyczności σ plasty. (Re). Po osiągnięciu pkt.D wzrost odkształceń ε związany jest z przyrostem naprężeń σ i trwa, gdy naprężenie osiągnie max wartość (pkt.K). Te największe naprężenie to wytrzymałość na rozciąganie Rm. R m = P max. / F. Po osiągnięciu Rm w pewnym miejscu rozciągania próbki powstaje lokalne zwężenie, tworzy się, tzw. szyjka i w tym miejscu próbka ulega rozerwaniu (odcinek KL). Jeżeli naprężenia w próbce obliczać będziemy jako iloraz siły rozciągającej P przez rzeczywiste pole przekroju poprzecznego próbki, to otrzymamy wykres rozciągania (linia przerywana) DK’L’, a odcinek K’L’ dotyczy naprężeń rzeczywistych, jakie występują w największym przekroju szyjki.
3.CZYNNIKI WPŁYWAJĄCE NA DOBÓR WSPÓŁCZYNNIKA BEZPIECZEŃSTWA. 1. Sposób przykładania obciążeń. Obciążenia dynamiczne (nagłe) pochodzące od ciał będących w ruchu, są bardziej niebezpieczne niż obciążenia statyczne, tj. przykładane powoli oraz obciążenia stale zmieniające się są bardzo niebezpieczne od obciążeń stałych. 2.Jednorodność materiałów. Wyroby walcowe są bardziej jednorodne niż np. odlewy, w których mogą być pory. Dla wyrobów walcowych można przyjąć mniejszy współczynnik bezpieczeństwa niż dla odlewów. 3.Naprezenia wstępne. Występują przy nierównomiernym stygnięciu elementów spawanych oraz przy połączeniach wciskowych w elementach hartowanych. 4.Niedokładność metod obliczeniowych. Dla ułatwienia obliczeń pomija się niekiedy niektóre naprężenia. Jeśli poprzestaje się na obliczeniach przybliżonych należy przyjąć większy współczynnik bezpieczeństwa. 5.Czas i warunki pracy konstrukcji. W konstrukcjach tymczasowych, montażowych można przyjąć mniejszy współczynnik bezpieczeństwa. W urządzeniach przeznaczonych do długotrwałej eksploatacji należy uwzględnić osłabienia elementów spowodowane ścieraniem powierzchni i korozją. Jeżeli pracuje w podwyższonej temperaturze uwzględniamy zmiany własności matematycznych. W tych temp.. σ = P / F ≤ kr. naprężenie dopuszczalne kr wyznacza się: kr = Rm / nm.
nm-współ.bezpiecze, w odniesieniu do wytrzymałości na rozciąganie Rm. (kc-naprężenie dopuszczalne na ściskanie), (kg-zginanie), (ks-skręcanie), (kt-ścinanie).
4.NAPRĘŻENIA TERMICZNE- wynikają ze zmiany temperatury danego elementu w sytuacji braku możliwości jego swobodnego odkształcenia. Δl a = ℓ (alfa)*l *Δt,
Δl m= P*l / E*F , ℓ-współczynnik ciepłej rozszerzalności liniowej. Δl a = Δl m,
ℓ (alfa)*l *Δt= P*l / E*F / l, P / E*F = ℓ (alfa) *Δt / E, P/F=б, б=ℓ (alfa) *Δt*E.
Dla stali ℓ (alfa)=1,1 10 –5, dla miedzi ℓ (alfa)=1,710 –5, dla brązu ℓ (alfa)=1,6*10 –5.
5.LICZBA POISSONA. Jest to współczynnik proporcjonalności v zwany liczbą Poissona. (rys.3.11) wzdłuż osi 2: ε2 = -v ε1 , wzdłuż osi 3: ε3 = -v ε1 , wymiary kostki sześciennej o boku 1 cm poddanej działaniu naprężenia rozciągającego σ1 wynoszą: wzdłuż kierunku 1: 1+ ε = σ1 / E, wzdłuż kierunku 2: 1+ ε2= 1- v ε1 = 1 – v σ1 / E , wzdłuż kierunku 3: 1 + ε3 = 1 - v ε1 = 1 – v σ1 / E. Objętość kostki powinna spełniać warunek: (1+ ε1) (1+ ε2) (1 + ε3 ) ≥ 13 a po podst. ( 1 + ε1) (1 - v ε 1)2 ≥ 1, * 1 - 2 v ε 1 + v ε 1 2 + ε 1 -2 v ε 1 2 + v ε 1 3 – 1 ≥ 0. - 2 v ε 1 + ε 1 ≥ 0, v ≤ ½ .
6.MIARA DEFORMACJI PRZY CZYSTYM ŚCINANIU, ZALEŻNOŚĆ MIĘDZY E I G. Czyste ścinanie – naprężenia tnące wywołane są przez działanie naprężeń normalnych i można wytworzyć taki stan obciążenia, aby na ścianach rozpatrywanego elementu nie występowały żadne inne naprężenia oprócz naprężeń tnących. Taki stan obciążenia to CZYSTE ŚCINANIE. Stan czystego ścinania uzyskać można w płaskim stanie napięcia działając naprężeniami rozciągającymi σ1 = σ i ściskającymi σ2 = -σ w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach. (rys.4.3) w kierunku 1 (wzdłuż przekątnej db) ε1 = σ1 / E - v σ2 / E = σ / E - v (-σ / E ) = σ / E (1+v). W kierunku 2 ε2 = σ2 / E - v σ1 / E = (-σ / E ) - v σ/ E = - σ/ E (1 +v) , ε = у /2 , у = ז / G = σ / G , po podst. ε = у /2 = σ / 2G , ε = σ /E (1 + v) = σ / 2G. Stad otrzymujemy szukaną zależność miedzy modułami sprężystości e i G , G = E / 2(1+v). Stan czystego ścinania trudno jest wytworzyć przez bezpośrednie obciążenie ciała samymi tylko naprężeniami tnącymi, natomiast taki efekt można uzyskać wywołując np. rozciąganie i ściskanie takimi samymi, co do wartości bezwzględnej naprężeniami σ, działającymi w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach.
7.WZÓR NA NAPRĘŻENIE PRZY SKRĘCANIU. dM = TP dF p ,
Ms = ∫F dM = ∫F TP dFp , TP / P = T MAX /r , MS= ∫F pTMAX / r * dFp ,
MS = T MAX / r ∫F p2dF, JO = ∫F p2dF , TMAX = r * Ms / JO , (wykorzystując zależność TP / TMAX = p/r ) zapisujemy T MAX / r = MS / JO = Tp / p , (a po podstawieniu do wzoru dφ / dx = TP / pG ) dφ / dx = MS / GJ0 , φ = ∫L d φ = ∫0 1Ms / GJ0 dx = Ms l / GJ0 ,
φ = Ms l / GJ0 .
9.PRACA I MOC MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO. Praca siły P stycznej do wału na drodze ds. (5.8) wynosi dL = P ds., przy czym ds. = rd φ wiec dL = Pr d φ. Ponieważ Pr =MS to dL =MS dφ , L=MSφ , Praca momentu skręcającego jest więc równa iloczynowi momentu skręcającego i kąta obrotu wału. Moc N przenoszoną przez wał otrzymujemy N = dL / dt = Ms dφ / dt = Msω. Jeżeli moc przenoszona wynosi N kilowatów, a prędkość kątowa wału ω rad / s, to moment skręcający: Ms N * m = N kW * 1000 / ω rad / s , gdy podana jest liczba obrotów wału na minutę (n obr/min) wówczas ω = Лn / 30 i moment skręcający wyraża się zależnością: Ms N *m = 30 * 1000 / Л * N / n = 9550 N / n.
10.WZÓR NA KĄT SKRĘCANIA WAŁU,DOPUSZCZALNY KĄT SKRĘCANIA.
Ms= G* dy / dx ∫F g2 dF , Ms= G* dy / dx Jo , dy = Ms / G Jo dx , kat y=Ms / G*Jo ∫dx , y=Ms*l / G*Jo , y dop≤1/4 ° / mb , ds.= r*dy , dL=P*ds.=P* r * d * α , dL= Ms* d * α , N=dL /dt = Ms * d α / dt= Ms* w , w=2 Л r , w=Л r / 30 , Ms=N / w = N /2 Л r= 1 / 2 Л r * N / n , Ms= N / n * 1 / 2 Л r.
11.DEFINICJA SIŁY TNĄCEJ I MOMENTU GNĄCEGO W PRZEKROJU POPRZECZNYM BELKI ZGINANEJ. A)siłą tnąca T w danym przekroju poprzecznym belki zginanej nazywamy rzut na płaszczyznę tego przekroju wypadkowej wszystkich sił zewnętrznych działających na część belki odciętą tym przekrojem. Siłę tnącą T uważać będziemy, za + jeżeli wycięty w myśli element belki siła ta będzie się starała obrócić zgodnie z ruchem wskazówek zegara. B)moment gnący Mg w danym przekroju belki nazywamy sumę momentów (względem środka ciężkości tego przekroju) wszystkich sił zewnętrznych działających na część belki odciętą tym przekrojem. Moment gnący Mg uważać będziemy, za + jeżeli wycięty w myśli element belki stara się wygiąć wypukłością do dołu.
12. WZÓR NA NAPRĘŻENIE PRZY CZYSTYM ZGINANIU σY = - y / p * E , dP = σY dF , dP = - y / p *EdF , ∫F dP = - ∫ y / p * EdF = - E / p ∫F ydF = 0 , ∫F ydF = 0 ,
Mg = ∫F dPy = - ∫F y / p * E dFy = - E /p ∫F y2 dF , Jz = ∫F y2 dF , 1 / p = - Mg / EJz (po podst. σY = - y / p * E) σY = Mg y / Jz ,
σG = σMAX = І σMINІ = Mg * Ymax / Jz , Wz = Iz / y max , σG = Mg / W ≤ kG gdzie kg jest naprężeniem dopuszczalnym na zginanie a W- wskaźnikiem wytrzymałości na zginanie względem osi obojętnej.
14.WZÓR NA MOMENT BEZWŁADNOŚCI PROSTOKĄTA WZGLĘDEM PODSTAWY (POWIERZCHNIA).a) w przypadku prostokąta o szer. B i wysokości h (7.2a) jako elementarne pole dF, a wiec dF= b d y, a iloczyn dF i y2 zsumować na całym polu tj. y=0 do y=h: Jz = ∫F y2 dF = ∫0 H y2 bdy = b l1/3 y3I H0 =1/3 bh3.
15. WZÓR NA MOMENT BEZWŁADNOŚCI TRÓJKĄTA. Dla trójkąta o podstawie b i wysokości h (7.2b) elementarne pole dF = zdy; aby wyrazić pole dF w postaci funkcji jednej zmiennej to z= b(h-y)/h zatem
Jz = ∫F y2 dF = ∫0H y2b* h-y / h dy = b / h Ih 1/3 y3 – ¼ y4 IH0 = bh3 / 12.
16. WZÓR NA MOMENT BEZWŁADNOŚCI KOŁA Dla koła o promieniu r (7.2 c) szerokość z elementarnego paska wynosi z=2√r2 – y2, zatem Jz = ∫F y2 dF = ∫F y2z dy = 2∫R0 y2 * 2√r2 – y2 dy = ¼ Л r4.
17.TWIERDZENIE STEINERA. Moment bezwładności ciała materialnego względem dowolnej osi równy jest sumie momentu bezwładności względem osi równoległej przechodzącej przez środek masy, oraz iloczynu masy ciała i kwadratu odległości miedzy tymi dwiema osiami. Z równania: I z1 = Iz + md 2 wynika, że przy wyznaczaniu momentów bezwładności ciała materialnego względem osi do siebie równoległych najmniejszy moment bezwładności otrzymujemy względem osi przechodzącej przez środek masy ciała, ponieważ gdy d≠0, wówczas zawsze md2 >0. Każda oś przechodząca przez środek masy ciała nazywa się osią centralną wszystkich równoległych do siebie osi, oś centralna jest tą, względem której moment bezwładności ciała jest najmniejszy. Zastosowanie twierdzenia: (rys.7.22) moment bezwładności dla cienkiego jednorodnego pręta względem osi O1, prostopadłej do osi pręta i przechodzącej przez jego koniec: Iz1 = Iz+md 2 = iż + m l2 / 4. Moment bezwładności pręta względem osi centralnej Cz, równoległej do osi O1 z1, wynosi: Iż = ml2 / 12. a po podstawieniu: Iz1 = ml2/12 + ml2/4 = ml2/3.
18.DWUKIERUNKOWY STAN NAPRĘŻEN, NAPRĘŻENIA ZREDUKOWANE.
a)naprężenia zredukowane –są to takie naprężenia (umowne)otrzymane po zastosowaniu przyjętej hipotezy wytrzymałościowej dla danego trójkierunkowego stanu naprężeń, które jest równoważne z naprężeniem zwykłym rozciąganiu. Obliczenia wytrzymałościowe dla dowolnego przestrzennego stanu naprężeń sprowadza się do sprawdzenia warunku: σ red. ≤ Kr.
Warunek ten w myśl kolejnych hipotez przybiera następującą postać
(dla σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 ) 1) według hipotezy σMAX –dla rozciągania σ red = σ1 ≤ Kr, -dla ściskania σ red = I σ3I ≤ I K c I, 2)według hipotezy ε MAX (wzor σPL = σ1 – v (σ2 - σ3) )
σRED = σ1 – v (σ2 - σ3) ≤ Kr , 3)według hipotezy T max (wzor σPL = Iσ1 –σ3I )
σRED = σ1 –σ3 ≤ Kr , 4) według hipotezy Huberta
(wzór σPL = √ ½ [ (σ1 –σ2)2 + (σ2 - σ3)2 + (σ3 – σ1)2] ) to
σRED = √ ½ [ (σ1 –σ2)2 + (σ2 - σ3)2 + (σ3 – σ1)2] ≤ Kr.
19.NAPRĘŻENIA W ŚCIANCE CYLINDRYCZNEGO CIENKOŚCIENNEGO ZBIORNIKA CIŚNIENIOWEGO. Ciśnienie P napiera na wszystkie ścian...
kismimimi