Algebra_liniowa.pdf

SPIS TREĺCI

SKOROWIDZ PODSTAWOWYCH OZNACZEİ ............................................................................................... 3

Sylabus......................................................................................................................................................................4

1. MACIERZE....................................................................................................................................................... 6

1.1. Definicja i terminologia ................................................................................................................................... 6

1.2. Dziaþania na macierzach ................................................................................................................................ 12

1.2.1. Dodawanie macierzy................................................................................................................................... 12

1.2.2. MnoŇenie macierzy przez liczbħ ................................................................................................................. 13

1.2.3. MnoŇenie macierzy ..................................................................................................................................... 14

1.2.4. Potħga macierzy o wykþadniku naturalnym ................................................................................................ 17

1.3. Zastosowanie macierzy Î ukþady rwnaı liniowych I ................................................................................... 18

1.4. Macierze odwracalne ..................................................................................................................................... 23

1.5. Operacje elementarne. Metoda Gaussa obliczania macierzy odwrotnej. ....................................................... 26

1.5.1. Operacje elementarne.................................................................................................................................. 26

ZADANIA DO ROZDZIAýU 1. .......................................................................................................................... 29

OPANOWANIE TREĺCI MATERIAýU ROZDZIAýU 1.................................................................................. 31

2. WYZNACZNIKI............................................................................................................................................. 32

2.1. Definicja i podstawowe wþasnoĻci wyznacznika ........................................................................................... 33

2.2. WþasnoĻci wyznacznika jako funkcji wierszy (kolumn)................................................................................ 39

2.3. Zastosowania wyznacznikw......................................................................................................................... 45

2.3.1. Macierze nieosobliwe................................................................................................................................. 45

2.3.2. Macierze odwracalne i wyznaczniki .......................................................................................................... 48

2.3.3. Wzory Cramera .......................................................................................................................................... 52

ZADANIA DO ROZDZIAýU 2. .......................................................................................................................... 55

OPANOWANIE TREĺCI MATERIAýU ROZDZIAýU 2.................................................................................. 58

3. UKýADY RìWNAİ LINIOWYCH ........................................................................................................... 59

3.1. RzĢd macierzy................................................................................................................................................ 59

3.2. Twierdzenie Kroneckera Î Capellego ............................................................................................................ 65

3.3. Metoda Gaussa............................................................................................................................................... 69

ZADANIA DO ROZDZIAýU 3. .......................................................................................................................... 73

OPANOWANIE TREĺCI MATERIAýU ROZDZIAýU 3.................................................................................. 74

> 2 <

SKOROWIDZ PODSTAWOWYCH OZNACZEİ

= ]

[

ij M

A jest macierzĢ wymiaru

m × o elementach i a , gdzie

, a

, str. 7,

m ×

zbir macierzy wymiaru

m × , str. 8,

zbir macierzy kwadratowych stopnia n

n × ,

zbir macierzy wymiaru

m Î kolumn;

zbir macierzy wymiaru n

Î wierszy,

macierz jednostkowa stopnia n ,

0 (lub

)

macierz zerowa (macierz zerowa wymiaru

m × ),

m ×

}

{ =

zbir liczb naturalnych,

zbir liczb rzeczywistych,

macierz transponowana wzglħdem macierzy A,

1 − A

macierz odwrotna do macierzy A ,

i A

macierz otrzymana z macierzy kwadratowej A przez

wykreĻlenie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny;

−=

(

det

dopeþnienie algebraiczne elementu j a macierzy A ,

det

wyznacznik macierzy A,

rz A (lub

(

)

rzA

)

rzĢd macierzy A ,

symbol Kroneckera,

symbol oznaczajĢcy koniec przykþadu,

symbol oznaczajĢcy koniec twierdzenia lub wniosku,

> 3 <

K I E R U N E K A R C H I T E K T U R A K R A J O B R A Z U

STUDIA NIESTACJONARNE

• K URS :

A LGEBRA LINIOWA

Liczba godzin 2

Forma

zaliczenia

kursu 1

Kod

Semestr

ECTS

L / S

ZnO

Jednostka realizujĢca kurs

(rok akademicki 2007/08)

K ATEDRA M ATEMATYKI

wykþad

dr Andrzej Chmura; Prof. Vasile Glavan, prof. Evgeny Grebenikov,

Prof. Vasile Glavan, prof. Evgeny Grebenikov, dr Andrzej Chmura,

mgr Agnieszka Gadomska, mgr Marta Urbanek, mgr Renata

Ziþkowska

ęwiczenia, laboratorium,

projekt, zajħcia kontrolowane

• C ELE :

Celem przedmiotu jest zapoznanie studentw:

1. Z wielomianami o wspþczynnikach rzeczywistych: dzielenie z resztĢ, pierwiastki

wielomianw.

2. Z teoriĢ ukþadw rwnaı liniowych o wspþczynnikach rzeczywistych: kryteria istnienia

rozwiĢzaı i metody rozwiĢzywania dowolnego ukþadu.

3. Z elementami przestrzeni liniowej: liniowej niezaleŇnoĻci, bazy

4. Z elementami geometrii analitycznej w przestrzeni R 2 i R 3 : iloczyn skalarny, wektorowy i

mieszany; prosta i pþaszczyzna w R 3 .

5. Z pojħciem grupy, pierĻcienia (pierĻcieı reszt ,wielomianw)

Zajħcia prowadzone sĢ w formie wykþadu i ęwiczeı. DuŇy nacisk kþadzie siħ na praktyczne

opanowanie treĻci programowych.

• M ETODY NAUCZANIA :

Nowy materiaþ przedstawiany jest w postaci wykþadu, gdzie zwraca siħ uwagħ na praktycznĢ stronħ

teorii (podawane sĢ tylko proste dowody twierdzeı), a nowe definicje i twierdzenia ilustrowane sĢ

odpowiednio dobranymi przykþadami. Na ęwiczeniach studenci uczĢ siħ samodzielnie rozwiĢzywaę

podobne zadania. Po uzgodnieniu z wykþadowcĢ pewne treĻci omawiane sĢ tylko na ęwiczeniach.

• F ORMY I WARUNKI ZALICZENIA :

Wykþady:

Zaliczenie wykþadu jest po zaliczeniu ęwiczeı. ObecnoĻci na wykþadach nie sĢ obowiĢzkowe lecz

wskazane.

1 Egz Îegzamin

ZnO Î zaliczenie na ocenħ

2 ȥ Î suma godzin

C Î ęwiczenia

W Î wykþad

P Î projekt

> 4 <

Ęwiczenia:

W czasie semestru przewidziane sĢ dwa kolokwia. Na zaliczenie ęwiczeı student powinien

zdobyę 51% punktw z jednego kolokwium oraz rozwiĢzaę 1/3 zadaı z podanych zestaww lub

otrzymaę ponad 40% punktw i rozwiĢzaę przynajmniej ď zadaı. Przewiduje siħ 1 kolokwium

poprawkowe na zajħciach kontrolowanych.

• T REĺĘ KURSU :

Wykþad:

L.p.

Tematyka

Liczba godzin

Wielomiany o wspþczynnikach rzeczywistych: dzielenie z resztĢ, pierwiastki

wielomianw. Rozkþad funkcji wymiernej na uþamki proste. Grupy,

pierĻcienie: pierĻcieı reszt ,wielomianw. Macierze: dziaþania na macierzach,

rŇne typy macierzy. Wyznaczniki (definicja rekurencyjna Î rozwiniħcie

LaplaceÓa): Podstawowe wþasnoĻci wyznacznika, reguþa Sarrusa dla

wyznacznika stopnia 3, przykþady. WþasnoĻci wyznacznika jako funkcji

wierszy i kolumn, twierdzenie CauchyÓgo. Obliczenie wyznacznikw

rŇnych stopni - wykorzystanie poznanych metod.

Ukþady rwnaı liniowych: Definicja, ukþad jednorodny, macierz i macierz

rozszerzona ukþadu, postaę macierzowa ukþadu, ukþad cramerowski, wzory

Cramera. RzĢd macierzy (definicja za pomocĢ minorw), twierdzenia i

wþasnoĻci Przeksztaþcenia elementarne na wierszach i kolumnach, zwiĢzek z

rzħdem macierzy, przykþady. Dowolne ukþady rwnaı liniowych, twierdzenie

Kroneckera Î Capellego RozwiĢzywanie dowolnych ukþadw rwnaı.

Definicja przestrzeni linowej (wektorowej) i podprzestrzeni; wþasnoĻci,

przykþady. Kombinacja liniowa wektorw Liniowa zaleŇnoĻę i niezaleŇnoĻę

wektorw, baza i wymiar przestrzeni linowej. Wektory w przestrzeni R 2 i R 3 .

Iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany: wþasnoĻci, kĢt miħdzy wektorami,

prostopadþoĻę i rwnolegþoĻę wektorw. Postaę oglna i parametryczna

prostej i pþaszczyzny w R 3 . RŇne zadania z wykorzystaniem omawianej

teorii.

ęwiczenia:

L.p.

Tematyka

Liczba godzin

Tematyka ęwiczeı ĻciĻle zwiĢzana jest z wykþadem. Ponadto pewne treĻci

programu powinny byę omwione tylko na ęwiczeniach.

• L ITERATURA PODSTAWOWA :

1. T. Jurlewicz, z. Skoczylas:

• Algebra liniowa I, Definicje, twierdzenia, wzory,

• Algebra liniowa I, Przykþady i twierdzenia Î Oficyna wydawnicza GiS, Wrocþaw 2005.

2. T. Jurlewicz, z. Skoczylas:

• Algebra liniowa II, Definicje, twierdzenia, wzory,

• Algebra liniowa II, Przykþady i twierdzenia Î Oficyna wydawnicza GiS, Wrocþaw 2005.

• L ITERATURA UZUPEýNIAJġCA :

S. Przybyþo, A. Szlachtowski, Algebra i geometria wielowymiarowa w zadaniach, WNT, Warszawa

2004.

L / S Î laboratorium lub seminarium

ZK Î zajħcia kontrolowane

> 5 <

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: