MATEMATYKA
Lista nr 10
Zadanie 1.
Znajdź pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu następujących funkcji (w każdym przypadku skomentuj obszar określoności funkcji).
a) ,
b) ,
c) ,
d) .
e)
Znajdź gradient i wyznacznik hesjanu dla podanych funkcji w punktach:
a) (1,1), b) (1,0) c) (-1,3) d) (2,-1) e)
Zadanie 2. (*)
Oblicz pochodne cząstkowe rzędu 3 dla funkcji z zadania 1. Jaka będzie pochodna cząstkowa rzędu 60 liczona względem zmiennej x dla funkcji z punktu c) oraz e) z zadania 1?
Zadanie 3.
Dla funkcji produkcji :
a) Oblicz krańcową produkcję względem zmiennych x i y.
b) Jeżeli x jest kapitałem wyrażonym w setkach tysięcy złotych, a y globalną miesięczną liczbą tysięcy godzin pracy, to zinterpretuj krańcową produkcję względem pracy i kapitału dla , i .
Zadanie 4.
Wielkość popytu dla określonej grupy towarów zależy od dochodu i od wskaźnika cen w następujący sposób: . Ponadto dochód i wskaźnik cen zależy od czasu . Zależności te określają funkcje: , . Oblicz i zinterpretuj pochodną funkcji popytu względem czasu.
Zadanie 5.(*)
Stosując pojęcie różniczki zupełnej, podaj przybliżenie wartości następujących funkcji:
a) w punkcie x = y = 2,
b) w punkcie x = y = 0.
Wyznacz pochodną funkcji uwikłanej y(x) dla:
a) w punkcie , gdy
b) w punkcie gdy
c) w punkcie
d) dla i
Zadanie 7.
Funkcja popytu wyrażona w dziesiątkach tysięcy sztuk zależy od ceny towaru x oraz od średniego dochodu y (wyrażonego w tysiącach złotych). Wyznacz krańcową cenę względem dochodu . Zinterpretuj jej wartość jeśli dla ceny równej 1 popyt był równy 2 (dwadzieścia tysięcy złotych).
Zadanie 8.
Firma działająca w warunkach doskonałej konkurencji produkuje jeden produkt wykorzystując technologię opisaną funkcją produkcji , gdzie S oznacza zużycie surowca (w tonach) i L to nakłady pracy (w tys. roboczogodzin).
a) W pewnym okresie zużyto 16 ton surowca oraz 25 tys. roboczogodzin. O ile zmieni się produkcja jeśli firma zwiększy zużycie surowca o 50kg, nie zmieniając ilości roboczogodzin?
b) O ile zmieni się ilość zużytego surowca, jeśli ilość roboczogodzin wzrosła z 25tys do 30tys., jeśli wiadomo, że produkcja utrzymała się na niezmienionym poziomie 30?
Zadanie 9.
Wyznacz punkty krytyczne dla następujących funkcji:
b)
d)
Zadanie 10.
Zbadaj ścisłą wypukłość (wklęsłość) następujących funkcji:
c) .
Dla funkcji wypukłych (wklęsłych) wyznacz ekstrema globalne.
Zadanie 11.
Firma produkuje dwa wyroby w ilościach Warunki pełnej konkurencji rynku dyktują ceny równowagi 2 i 3, co daje firmie przychód Znajdź poziom produkcji maksymalizujący zysk, jeśli wiadomo, że koszty produkcji określone są wzorem
hesia12317900