ST06.doc

Statystyka matematyczna:

- populacja generalna to zbiorowość, do której odnosimy wyniki badania statystycznego

- próba

Duża zbiorowość statystyczna to populacja (generalna), populacja może być nieskończona. Najczęściej badanie statystyczne jest badaniem niewyczerpującym – nie jest poddawana badaniu cała populacja, ale próba.

Próba to podzbiór pewnej populacji, który został poddany badaniu statystycznemu.

Statystyka matematyczna to nauka o zasadach wnioskowania o całej populacji na podstawie przebadanej próby.

Warunkiem możliwości uogólnienia wyników otrzymanych w próbie na całą populację jest to, aby próba była reprezentatywna.

Próba jest reprezentatywna gdy struktura wartości jakie przyjmuje zmienna w próbie w nieistotny sposób różni się od wartości tej zmiennej w całej populacji. Warunkiem koniecznym reprezentatywności próby jest to, żeby była dobrana w sposób losowy. Próba losowa jest tym bardziej reprezentatywna im jest większa.

Schematy losowania -  dobór próby do populacji.

Losowanie:

- niezależne – ze zwracaniem

- zależne – bez zwracania

Metoda reprezentacyjna – dział, który zajmuje się losowaniem próby ze zbiorowości (populacji).

Działy statystyki matematycznej:

- teoria estymacji

- teoria weryfikacji hipotez statystycznych

Teoria estymacji zajmuje się metodami szacowania parametrów populacji generalnej na podstawie przebadanej próby.

Teoria weryfikacji hipotez statystycznych to dział statystyki matematycznej zajmujący się metodami weryfikacji sądów (stwierdzeń) o postaci analitycznej rozkładu zmiennej lub parametrach rozkładu zmiennej w populacji generalnej weryfikowany na podstawie prób.

Jednym z podstawowych pojęć w statystyce matematycznej jest rozkład parametrów z próby.

Średnia arytmetyczna z próby jest zmienną losową. Jeśli jest zmienną losową to ma rozkład. Rozkład średniej arytmetycznej nazywamy rozkładem t-studenta (autor: Gosset).

Z każdej próby można policzyć wariancję i odchylenie standardowe.

Można także wyznaczyć rozkład(chi kwadrat), który jest rozkładem wariancji z próby.

Teoria estymacji statystycznej:

- estymacja punktowa

- estymacja przedziałowa

Estymacja punktowa polega na oszacowaniu wartości nieznanego parametru populacji przy pomocy 1 liczby oraz podania średniego błędu oszacowania (D(x)).

Estymacja przedziałowa polega na zbudowaniu pewnego przedziału liczbowego nazywanego przedziałem ufności przy założeniu z góry prawdopodobieństwa tego, że wartość nieznanego parametru mieści się w wyznaczonym przedziale – prawdopodobieństwo to nazywa się współczynnikiem ufności i oznaczamy jako .

Etapy estymacji punktowej:

1. wybór estymatora

2. obliczenie wartości estymatora na podstawie wylosowanej próby

3. przyjęcie wartości estymatora z próby jako oceny wartości parametru w populacji generalnej

4. policzenie średniego błędu szacunku – D(x)

AD. 1

Kryterium wyboru estymatora jest posiadanie pewnych własności:

- nieobciążoność

- zgodność

- efektywność

Estymator jest nieobciążony gdy jego przeciętna wartość równa się wartości nieznanego parametru populacji generalnej. Estymator jest nieobciążony gdy szacuje wartość parametru populacji bez błędów systematycznych (bez zawyżania lub zaniżania).

Estymator jest zgodny gdy podlega prawu wielkich liczb tzn. wraz ze wzrostem próby rośnie dokładność szacunku parametru populacji.

Estymator jest tym bardziej efektywny im ma mniejszą wariancję.

1