CIĄGI – teoria oraz zadania
monotoniczność
an+1-an>0 ciąg rosnący
an+1-an=0 ciąg stały
an+1-an<0 ciąg malejący
Zadanie 1 Zbadaj monotoniczność ciągu:
a) an=2n+1
b) an=2n+3n+1
ciąg arytmetyczny
a1,a2,a3,a4,…,an
n∈N+
a2-a1=a3-a2=a4-a3=…
an+1-an=r
r-różnica ciągu arytmetycznego
2, 4, 6, 8, 10, …
dowolny wyraz ciągu
an=a1+n-1r
suma
Sn=a1+an2*n
Zadanie 2 Wyznacz ciąg arytmetyczny an mając dane a2=4, a4=10 oraz oblicz sumę pięciu pierwszych wyrazów S5.
Zadanie 3 Oblicz sumę tych wszystkich liczb naturalnych <100, które nie są podzielne przez 3.
Zadanie 4 Ciąg arytmetyczny 1+3+5+…+x=81.
ciąg geometryczny
a2a1=a3a2=an+1an
iloraz ciągu geometrycznego
q=an+1an
an=a1*qn-1
Sn=a11-qn1-q
Zadanie 5 Wyznacz ciąg geometryczny, w którym a5=16, a2=2.
Zadanie 6 Wyznacz x i y.
x, 2, y,ciągarytmetyczny8
x, 2, y, 8ciąggeometryczny
Zadanie 7 Oblicz trzeci wyraz ciągu 2x1,2x2,2x3 wiedząc, że jest to ciąg geometryczny i x1+x2+…+x10=110 i x7=14
Zadanie 8 Długości boków trójkąta prostokątnego są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Wyznacz iloraz ciągu.
Zadanie 9 Iloczyn piątego i jedenastego wyrazu ciągu geometrycznego jest równy 4. Oblicz iloczyn 15 początkowych wyrazów tego ciągu.
Zadanie 10 Wyznacz ciąg mając dany wzór rekurencyjny.
a1=2an+1=anan+1
Zadanie 11 Wyznacz ciąg mając dany wzór ogólny na sumę.
Sn=2nn+1
Zadanie 12 Uzasadnij, że jest to ciąg geometryczny.
2+3, -1, 3-2
Zadanie 13 Wyznacz x, jeżeli lewa strona równania jest sumą ciągu arytmetycznego.
3+9+15+…+x=363.
Zadanie 14 Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych, z których reszta z dzielenia przez 4 jest równa 1.
Zadanie 15 Sprawdzić czy jeżeli trzy liczby a, b, c tworzą ciąg geometryczny to ich logarytmy tworzą ciąg arytmetyczny.
szereg geometryczny nieskończony
a1+a2+a3+…
limn→∞a11-qn1-q
limn→∞a11-qn01-q=a111-q=a11-q
suma szeregu geometrycznego zbieżnego
S=a11-q
dowolny wyraz ciągu geometrycznego
an=a1qn-1
Zadanie 16 Zamień na ułamek zwykły liczbę 0,3.
Zadanie 17 Zamień na ułamek zwykły liczbę 2,12.
Zadanie 18 Oblicz x w podanym równaniu.
x-12x+x22-14x+x34-18x+…=1
x≠0
Zadanie 19 Suma nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 12, a suma kwadratów jego wyrazów jest równa 48. Wyznacz dwa pierwsze wyrazy tego ciągu.
Zadanie 20 Dany jest ciąg trójkątów równobocznych, takich że bok następnego trójkąta jest wysokością poprzedniego. Oblicz sumę pól.
Zadanie 21 Nieskończony ciąg geometryczny jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym a1=2an+1=an*log2(k-2) . Wyznacz wartość parametru k, dla których istnieje suma ciągu geometrycznego an.
Zadanie 22 Zamień na ułamek zwykły liczbę 3,2(35).
Zadanie 23 Znajdź x w podanym równaniu.
151+2x+4x2+…=81+1x2+1x4+…
Zadanie 24 Obliczyć sumę pól kół, gdy dane jest a.
P1+P2+P3+…
Zadanie 25 Oblicz granice ciągów w nieskończoności.
a) limn→∞2n2+2n+1n2+3n+1
b) limn→∞n2+n-n
c) limn→∞n+2(n+8)-n
sir_matin