Model ten pozwala wytłumaczyć zjawisko termoemisji oraz pozwala dobrze wytłumaczyć zależność przewodnictwa elektronowego od temp. I wartości tych prędkości (cieplnego i elektrycznego).
Jeżeli mamy kryształ jednowymiarowy, to przy powierzchni potencjał ten szybko zanika do zera. Możemy zamodelować za pomocą studni potencjału. Nasza funkcja musi zanikać na powierzchni, ponieważ gdyby nie zanikała oznaczało by to że elektron może opuścić naszą kostkę.
Stan elektronu swobodnego w próżni opisuje równanie Schrödingera. j (x) j (x)= eikx Funkcja falowa elektronu swobodnego w postaci fali materii wykonuje paraboliczną zależność energia elektronu od wektora falowego. Wszystkie energie są dozwolone nie ma skwantowania. Jeżeli elektron ma mieć możliwość ruchu to musi się oderwać od atomu od którego pochodzi.
Mamy prostokątną barierę potencjałów:
Obszar I: U(x) = 0 to x<0 Obszar II U(x) =U0 to Obszar III: U(x) = 0 to x>l
W obszarach I i III r-nie Schrodingera ma postać :
w obszarze II r-nie ma postać :
W obszarze I ; W obszarze II ; Dla E-U0<0 , ale
Czyli
W obszarze III F=0 bo fala nie ma się od czego odbić i może poruszać się tylko w prawo.
Funkcja Y będzie opisywać proces przejścia cząstki przez barierę potencjału, jeżeli funkcja ta oraz jej pochodne będą ciągłe w punkcie x=0 i x=l. Y1(0)= Y (0); x=0 A+B=C+D
Jeśli x=l to oraz
Wprowadźmy parametr wyrażający p-stwo tego, że cząstka padająca na barierę przez nią przejdzie. gdzie E- natężenie fali; A- fala padająca; T- współczynnik transmisji R- wsp. Odbicia(refleksji) B- fala odbita
Dla Hl>>1 (szerokość bariery) R +T=1
Ek<V0 | Wg. mech. klasycznej cząstka taka nie mogła by przejść na drugą stronę bariery, ponieważ podczas przechodzenia przez barierę musiałby mieć ujemną energię kinetyczną.
dyfrakcja światła dla n=1 (pierwsze maksimum interferencyjne, pierwszy krążek)
Jeżeli światło przechodzi przez szczelinę o szerokości Δx to musi zmienić pęd o Δpx. Korzystając z postulatu de Brolie’a:
Przy napięciu przyspieszającym V=54V występuje silna wiązka ugięta pod kątem Θ=500, co odpowiada kątowi Bragga Θ =650. Odległość międzypłaszczyznowa . Zatem λ =2dsin Θ = 0,165*10-10m.. Z drugiej strony, Dobra zgodność wyników doświadczalnych z przewidywaniami de Brogli
Pf-Pf’+m0C=mC gdzie-odpowiednio pęd fotonu przed i po rozproszeniu ; m0C2 , mC2 – odpowiednio energia spoczynkowa i energia całkowita elektronu, Pe – pęd elektronu.
Wyjaśnienie zjawiska fotoelektrycznego możliwe jest tylko na podst. teorii kwantowej. Energia fotonu padającego na powierzchnię metalu zostaje pochłonięta przez elektron. Cześć tej energii zostaje zużyta na oderwanie elektronu od powierzchni metalu(tzw. praca wyjścia j)pozostałą część energii elektronu zachowuje w postaci energii kinetycznej.
Jeżeli napięcie jest dostatecznie duże prąd fotoelektryczny osiąga pewną graniczną wartość ,przy której wszystkie fotoelektrony emitowane są zbierane przez elektrodę K. elektronów. Napięcie U0 nazywa się napięciem hamującym pomnożone przez ładunek elektronu e jest miarą energii kinetycznej Emax najszybszych elektronów Emax=U0*e
Dla ujemnego napięcia U pole przeciwdziała ruchowi
1.Każdemu rodzajowi obserwacji przyporządkowany jest zespół liczb stanowiących wyniki możliwych obserwacji
2. Są obserwacje przy których wynik zależy od kolejności ich przeprowadzenia AB – BA ≠ 0
Operatory reprezentują obserwacje.
Funkcje na które działają operatory, reprezentują stany układu i nazywane są funkcjami stanu.
Interpretacja sensu operatorów opiewa się na pewnych założeniach :
1.Jedynymi możliwymi wynikami obserwacji są opow.. wartości własne An tego operatora.
2.Wynikiem obserwacji układu który jest w stanie jest wartość własna An odpowiadająca danej funkcji stanu.
3.Wartość średnia obserwacji układu, który jest w stanie i powtarzanych na tym układzie lub wykonanych na zbiorze układów, który każdy znajduje się w stanie dowolnym jest równa :
Zasady obserwacji
1.Zasada odpowiedniości-wynika z konieczności przejścia z mechaniki kwantowej do klasycznej. Relacje w których nie występują pochodne spełnione przez wielkości fizyczne w mechanice klasycznej, zachodzą również po zastąpieniu tych wielkości odpowiadającymi im operatorami kwantowymi.
2.Zasada komplementarności-każde dwie wielkości obserwowalne z których jedna (hi)H wiąże się z położeniem, a druga Π (pi) z odpowiadającemu mu pędu, spełniają związek
przemienności.
Wielkości te nazywamy wielkościami komplementarnymi.
3. ZJAWISKO COMPTONA I HIPOTEZA DE BROGLLIE’A
Zjawisko Comptona polega na rozproszeniu fotonu na swobodnym elektronie. Kiedy monochromatyczne promienie rentgenowskie są rozpraszane przez warstwę materiału, to w widmie promieniowania rozproszonego oprócz pierwotnej częstotliwości występuje również składnik o większej długości fali. Długość fali tego te go składnika promieniowania nie zależy od materiału rozpraszającego, a wyłącznie od kąta rozpraszania.
Obliczamy zmianę długości fali zakładając, że fotony zderzają się z elektronami, tak jak zderzają się dwie kule. Energia początkowa fotonu niech wynosi hv. Ponieważ dla cząstki o masie spoczynkowej m0=0, pęd , zatem pęd fotonu. Energia kwantu promieniowania rentgenowskiego jest znacznie wyższa od energii wiązania elektronu na orbitach zewnętrznych, a także od energii ruchu elektronu w atomie. Stosując zasadę zachowania energii i pędu dla zderzeń foton-elektron, otrzymujemy. PfC+m0C2=Pf’C+mC2
Podnosząc obydwa równania do kwadratu otrzymujemy;
Odejmując stronami i biorąc pod uwagę , że m2C2-P2f=m02C2 mamy
ponieważ , więc ostatecznie gdzie jest conptonowską długością fali. Wzór Comptona
Hipoteza de Broglie’a
De Broglie’a przyjął, że skoro światło zachowuje się w pewnych przypadkach jak fala , a w innych jak cząstka , to elektrony (ogólnie cząstki) powinny przejawiać naturę falową. Fale te nazwał falami materii. Założył on że długość fal materii określona jest tym samym związkiem, który stosuje się do fotonów. Zjawisko to zostało potwierdzone eksperymentalnie przez Davissona-Germera.
2. EFEKT FOTOELEKTRYCZNY JAKO POTWIERDZENIE TEORII KWANTÓW.
Efektem fotoelektrycznym nazywamy promieniowanie krótkofalowe padające na powierzchnie metalu wybijając z niego elektrony(wykryte przez Hertza).
Układ doświadczalny do badania zjawiska fotoelektrycznego
Obojętna powierzchnia metalowa pod wpływem naświetlania zostaje naładowana dodatnio ,czyli pod wpływem naświetlania światłem ultrafioletowym powierzchnie metalowe emitują ładunki ujemne (elektrony). Źródło światła wysyła światło monochromatyczne ,którego częstotliwość v i natężenie I można zmieniać. Wewnątrz bańki szklanej, w której panuje próżnia zawierającej okienko kwarcowe znajduje się elektroda E emitująca elektrony pod wpływem padającego na nią światła. Analiza zjawiska fotoelektrycznego polega na badaniu zależności natężenia prądu od napięcia oraz wpływu częstotliwości światła na przebieg zjawiska fotoelektrycznego.
Uo U
Wartość Uo nie zależy od natężenia światła(wykres wyżej)zależy natomiast od częstotliwości światła. Istnieje częstotliwość progowa vo poniżej której zjawisko fotoelektryczne zanika(dlatego stosuje się fale krótkie np. ultrafioletowe)
2 vo 6 8 10
hv=j + EKmax -równanie Einsteina dla zjawiska fotoelektrycznego EKmax =0 dla v0 więc:
hv=j
Foton o częstotliwości v0 ma dokładnie tyle energii ile jest potrzebne na wykonanie pracy wyjścia. Energia fotonu E=hv E=mc2=hv Masa fotonu
Pęd fotonu p=mc= Foton nie ma masy spoczynkowej. Masa fotonu jest masą w ruchu.
21. MODEL ELEKTRONÓW SWOBODNYCH I ENERGIA FERMIEGO
Mogą być różne funkcje falowe czyli o różnych wektorach falowych, ale wszystkie spełniają warunek, że funkcja zanika do zera, czyli jeżeli jest funkcja sinus to wielokrotność połówek fali musi dać n. Funkcja falowa musi mieć wektor falowy czyli funkcja falowa Y (x) dla jednego wymiaru Y (x)=Asin()
Jeżeli jest 3-wymiarowy to Y (x,y,z)= , czyli funkcja falowa zależna jest od objętości.
Model w którym elektron porusza się w średnim potencjale prowadzi do nałożenia takiego, że energie są skwantowane ale są bardzo blisko siebie, w związku z tym otrzymamy pasmo energetyczne paraboliczne ciągłe więc jest swoboda poruszania się tych elektronów.
Energia jest zależna od wektora falowego, taka sama jak elektronu swobodnego w próżni z tym że kx jest zkwantowane
Ponieważ energia jest proporcjonalna do kwadratu wektora falowego, to elektrony o tym samym wektorze falowym na powierzchni kuli o promieniu k, ponieważ wektor falowy który opisuje elektron może być w różnym kierunku skierowany ale z ta sama energią E~k2 .
Jeżeli jest n- elektronów to tyle jest też n- rdzeni jonowych gdzie każdy uwalnia jeden elektron. W temp. 0 K mamy stan podstawowy wszystkie elektrony zajmują stany od najniższych energii do najwyższych i wypełniają one kulistą objętość. Ta kula ma promień tzw. Fermiego, a energia nazywa się energia Fermiego. Jest to największa energia elektronu jaką może mieć elektron w ciele stałym w temp. 0 K. W kuli Fermiego dwa elektrony zajmują taka samą objętość ze względu na spin +- ½ . Z tego wynika, że objętość kuli Fermiego przez Vp/DV musi wynosić ½ N elektronów.
= => => =>
……
bartas618