MN7.pdf
(
370 KB
)
Pobierz
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01//EN" "http://www.w3.org/TR/html4/strict.dtd">
Metody Numeryczne
Wykład 7
Układy równań liniowych
Zadanie:
rozwiązać układ
n
równań liniowych:
3
a
x
+
a
x
+
+
a
x
=
b
11
1
12
2
1
n
n
1
a
x
+
a
x
+
3
+
a
x
=
b
21
1
22
2
2
n
n
2
4
a
x
+
a
x
+
3
+
a
x
=
b
n
1
1
n
2
2
nn
n
n
a
a
3
a
x
b
a
a
a
x
b
11
12
1
n
1
1
gdzie:
A
– kwadratowa
macierz
współczynników
(
n
x
n
)
b
– kolumnowy
wektor
wyrazów wolnych
(
n
x
1
)
x
– kolumnowy
wektor
niewiadomych
(
n
x
1
)
a
a
3
a
x
b
21
22
2
n
2
2
×
=
4
4
4
a
a
3
a
x
b
1
n
1
n
nn
n
n
b
A
x
Ax
=
b
Metody projekcji
Założenie:
macierz
A
jest
symetryczna dodatnio określona
.
Zadanie rozwiązania układu równań:
Ax
=
b
Zastępujemy
równoważnym zadaniem minimalizacji
funkcji
g(x):R
n
->R :
T
T
g
( )
x
=
x
Ax
-
x
b
1
2
g
( )
x
=
1
2
x
Ax
-
x
b
Gradient funkcji
f:R
n
->R
, określony jest następująco:
¶
g
¶
g
¶
g
3
Ñ
g
( )
x
=
,
,
,
¶
x
¶
x
¶
x
1
2
n
Zatem:
¶
T
T
T
T
Ñ
g
( )
x
=
(
x
Ax
-
x
b
)
=
Ax
+
(
x
A
)
-
b
=
1
1
1
2
2
2
¶
x
T
=
Ax
+
A
x
-
b
=
Ax
-
b
1
1
2
2
Gradient funkcji znika w minimum, a więc w minimum funkcji
Gradient funkcji znika w minimum, a więc w minimum funkcji
g(x)
mamy:
Ax
-
b
=
0
Co jest równoważne z rozwiązaniem układu równań:
Ax
=
b
•
Przykład dwuwymiarowy:
20
-
1
x
19
1
=
⇒
x
=
1
x
=
1
1
2
-
1
25
x
24
2
T
T
g
( )
x
=
x
Ax
-
x
b
1
2
4
g(x)
3
400
400
300
2
x
2
200
1
100
0
0
-100
4
3
4
2
3
x
1
1
2
-1
1
0
x
2
0
-1
-1
-2
-2
-2
-2
-1
0
1
2
3
4
x
1
Plik z chomika:
lukaszzychzych
Inne pliki z tego folderu:
MN4.pdf
(374 KB)
MN1.pdf
(157 KB)
MN12.pdf
(224 KB)
MN11.pdf
(170 KB)
MN10.pdf
(132 KB)
Inne foldery tego chomika:
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin