Belki na sprężystym podłożu.

-rozważamy dowolnie obciążoną belkę spoczywająca na podłożu

-zagadnienie polega na wyznaczeniu sil przekrojowych, przemieszczeń belki

i wyznaczeniu odpowiedzi podłoża- zagadnienie kontaktowe

-grunt dozna przemieszczen nie tylko w pkt. Leżących bezpośrednio pod belką, ale także poza nią:

-jeśli przyłożymy obciążenie belka na skutek deformacji może stracić kontakt z podłożem

hipotezy Winklera:

·        Wiezy pomiędzy podłożem a konstrukcją są dwustronne (więzy łączące belkę z podłożem „pracują” na rozciąganie i na ściskanie) - oznacza to, że belka nie odrywa się od podłoża i gładkie (brak tarcia między podłożem i spoczywającą na nim belką)

·        Podłoże traktujemy jako ciało, w którym przemieszczają się wyłącznie te punkty, które leżą na prostej działania siły i przemieszczenie to jest proporcjonalne do działającej siły

Doświadczenie potwierdza słusznośc hipotez Winklera jedynie dla belek dlugich( szyny kolejowe, ławy fundamentowe) doznających małych ugięć

-hipotezy te pozwalają zbudować prosty mogel wiezów i podłoża w postaci sprężyn przypiętych do belki i ułożonych do niej prostopadle:

-oznaczamy charakterystykę sprężyny przez k=b*c gdzie b to szerokość belki, a c moduł podatności podłoża

-odpór podłoża na belkę, czyli siłę z jaką belka dziala na dany pkt. Podłoża zapisujemy:

r(x)=kw(x)

- odpór podłoża r(x) w punkcie (liczony na jednostkę długości belki) jest proporcjonalny do ugięcia w tym punkcie

-Równania linii ugięć oraz momentów zginających i sił poprzecznych

                            a [1/m]

- współrzędna bezwymiarowa

              Þ             

              Þ             

              k = b c       równanie to wraz z warunkami brzegowymi tworzy zagadnienie brzegowe rządzące rozwiązaniem belki leżącej na podłożu winklerowskim

rozwiązanie:

-stałe A,A,C,D dobieramy z kinematycznych warunków brzegowych, to jest wartości w i w’ oraz wyrażonych poprzez przemieszczenia wartości sił przekrojowych, a także z warunków zszycia (relacji pomiędzy tymi wielkościami w pkt. węzłowych przedziałów charakterystycznych)

-znając fk ugięcia belki znajdujemy sily przekrojowe

My(x)=-EIyw’’(x)           Fz(x)=-EIyw’’’(x)

Belki nieskończenie długie

*       warunek skończonej wielkości ugięć powoduje zerowania się stałych A i B

Belka obciążona siłą skupioną

dla z ³ 0

1)                                

2)                                

*     z warunków kinematycznych 1) wynika, że :                                                                     

*     A = 0   ,   B = 0

*     z warunku kinematycznego i statycznego 2) wynika, że :                            

*     ostatecznie zatem dla

*     dla

              ;                            ;              

*     wiele sił skupionych

*) jeżeli z < 0 to wyraz w nawiasie klamrowym z gwiazdką należy wziąć ze znakiem przeciwnym

Belka obciążona momentem skupionym

dla z ³ 0

1)                              Þ                            A =0 ; B = 0

2)                              Þ                            C = 0

3)                              Þ                           

*     ostatecznie zatem dla

*      dla

              ;                            ;              

*     wiele momentów skupionych

*) jeżeli z < 0 to wyraz w nawiasie klamrowym z gwiazdką należy wziąć ze znakiem przeciwnym

Belka obciążona obciążeniem ciągłym

Obciążenie łączne

*) jeżeli z < 0 to wyrazy w nawiasach klamrowych z gwiazdką należy wziąć ze znakiem przeciwnym, zaś w funkcjach h¸h3 należy w miejsce z wstawić .

Belki skończonej długości

                            k = b c

*     w belkach o skończonej długości ( z przyjmuje wartości skończone ) zachodzą warunki  A ¹ 0, B ¹ 0, C ¹ 0, D ¹ 0. Te 4 stałe należy wyznaczyć z warunków kinematycznych i statycznych. Jeżeli belka składa się z kilku przedziałów charakterystycznych to należy napisać i rozwiązać tyle równań ile jest przedziałów, korzystając dodatkowo z 4 warunków zapisanych w punkcie zszycia każdych dwóch przedziałów. Taka droga jest rachunkowo uciążliwa.

Metoda F. Bleicha

*     belkę o skończonej długości zastępuje się belką o nieskończonej długości

*     obciążenie belki nieskończonej składa się z :

1.       obciążenia pierwotnej belki skończonej (na długości tej belki)

2.         dodatkowego obciążenia poza obszarem belki pierwotnej, takiego, aby zapewniona była zgodność statycznych warunków brzegowych obu belek. Uzyskuje się to poprzez umieszczenie 4 sił skupionych R1 ¸ R4, po dwie z każdej strony belki, w takim rozstawie, który ułatwia obliczenia

*     zapewniając zgodność momentu zginającego i siły poprzecznej w punktach belki nieskończonej, odpowiadających punktom końcowym A i B belki o skończonej długości - zapewniamy pełną zgodność rozwiązań w obszarze belki skończonej.