Wykład 1 (09-03-07)
Hipotezy wytężeniowe
· Ogół zmian w stanie fizycznym ciała prowadzący do powstania trwałych odkształceń i zniszczenia spójności określa się jako wytężenie.
· Stawia się hipotezę, że można utworzyć funkcję W określającą wytężenie.
· Jej argumentami są składowe stanu (zwykle składowe stanu naprężenia) ośrodka ciągłego w danym punkcie i parametry charakteryzujące materiał (stałe materiałowe).
Wytężenie w ogólnym stanie naprężenia: W=Fσx, …, τxy,…, C, ….
Wytężenie w jednoosiowym rozciąganiu: W=Fσx,0,0,0,0,0,C,….
Jeśli są one sobie równe:
Fσx, …, τxy,…, C, …= Fσx,0,0,0,0,0,C,…
σ0=fσx,σy,σz,τxy,τyz,τzx,C,…
σred=fσx,σy,σz,τxy,τyz,τzx,C,…
· Naprężenie redukowane (zastępcze) σred - wielkość charakteryzująca dany stan naprężenia pod względem wytężenia.
· Ocena współczynnika bezpieczeństwa w trójosiowym stanie naprężenia:
- wyznaczenie σred i porównanie z odpowiednim naprężeniem dopuszczalnym dla jednoosiowego stanu naprężenia (np. rozciągania).
σred≤σdop
σdop - naprężenie dopuszczalne przy jednoosiowym rozciąganiu.
Najpopularniejsze hipotezy wytężeniowe.
Dwie grupy hipotez:
1. Określające warunek początku plastyczności:
- stan niebezpieczny, gdy: σred=Re
2. Określające warunek pęknięcia (dekohezji):
- stan niebezpieczny, gdy: σred=Rm
Ad. 1
- hipoteza energii odkształcenia postaciowego (Maxwell, Huber, Mises, Hencky);
- hipoteza największych naprężeń statycznych (Tresca, de Saint Venant).
Hipoteza energii odkształcenia postaciowego.
Miarą wytężenia jest właściwa energia odkształcenia postaciowego.
Energia odkształcenia postaciowego w przypadku ogólnym:
φf=1+v6Eσx-σy2+σy-σz2+σz-σy2+6τxy2+τyz2+τzx2
Dla jednoosiowego stanu naprężenia:
φf=1+v6E2σ02
Przyrównując prawe strony:
σred=σx2+σy2+σz2-σxσy-σyσz-σzσx+3(τxy2+τyz2+τzx2)
Dla płaskiego stanu naprężenia:
σred=σx2+σy2-σxσy+3τxy2
Dla często spotykanych w praktyce technicznej stanów naprężeń (skręcanie i zginanie):
σx=σ≠0, σy=0, σz=0
τxy=τ≠0, τxy=τzx=0
σred=σ2+3τ2
Dla ścinania: σred=τ3
Hipoteza Największych Naprężeń Stycznych.
Miarą wytężenia materiału jest największe naprężenie statyczne.
Największe naprężenie statyczne w dowolnym stanie naprężenia:
τmax=σ1-σ32=σmax-σmin2
W jednoosiowym rozciąganiu: τmax=σ02
Porównując prawe strony: σred=σmax-σmin
Hipoteza ta pomija wpływ naprężeń σ2.
Słuszność hipotez Hubera i największych naprężeń stycznych.
· Doświadczalnie potwierdzona dla stali węglowych przy obciążeniach:
- stałych;
- zmiennych w czasie.
· Konstrukcyjne stale stopowe, szczególnie poddane obciążeniom zmiennym – dyskusyjne.
· Nie sprawdzają się, gdy:
- materiały anizotropowe;
- siatka krystaliczna stopu inna niż regularna;
- stan naprężenia bliski przestrzennemu równomiernemu rozciąganiu.
Druga grupa hipotez wytężeniowych.
Ad. 2 (Hipoteza określająca warunek pęknięcia).
a) Hipoteza największego naprężenia normalnego (Galileusz);
b) Hipoteza największego wydłużenia (Mariott);
c) Hipoteza Burzyńskiego.
σred=RmRcσx+σy+σz2-RmRs2σxσy+σyσz+σzσx-τxy2-τyz2-τzx2+Rm1-RmRcσx+σy+σz
Gdzie:
Rm - rozciąganie;
Rc - ściskanie;
Rs - skręcanie.
Dobra zgodność z doświadczeniami dla materiałów:
- sprężysto-kruchych (np.. beton, żeliwo);
- sprężysto-plastycznych (np. stal).
Złożone przypadki wytrzymałościowe
… to takie, gdy jednocześnie wystąpią co najmniej 2 spośród 6 możliwych sił wewnętrznych:
Ocena wytrzymałościowa:
Obliczenie σred z odpowiedniej hipotezy wytężeniowej i porównanie z naprężeniami dopuszczalnymi σdop.
Rozciąganie i skręcenie
1. Siła podłużna N.
2. Moment skręcający Ms.
Największe wytężenie na obwodzie:
σmax=NA, τmax=MsW0
Zginanie i skręcanie.
1. Moment gnący Mg.
Największe wytężenie w punktach najbardziej odległych od osi obojętnej zginania:
σmax=MgW, τmax=MsW0
Stosując hipotezy wytężeniowe…
1. Hipoteza energii odkształcenia postaciowego (Hubera):
σred=σmax2+3τmax2= MgW2+3MsW02≤σdop
Dla przekroju okrągłego: W0=2W
σred=MgW2...
pradzik_666